Dana jest funkcja F(x, y) = x + 2y, czyli równanie z = x + 2y w przestrzeni trójwymiarowej jest równaniem płaszczyzny, a warunek x² + y² = 5 to równanie okręgu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu √5.
Zatem ekstremum warunkowe wyznaczy na tej płaszczyźnie punkty ekstremalne, które odpowiadają punktom leżącym na tym okręgu.
Dana funkcja: F(x, y) = x + 2y
Warunek: G(x, y ) = 5 - x² - y²
Wyznaczamy funkcję pomocniczą:
L(x, y; λ) = x + 2 y + λ(5 - x² - y²), gdzie λ jest nieznanym współczynnikiem
i zgodnie z metodą mnożników Lagrange’a warunkiem koniecznym istnienia ekstremum warunkowego jest spełnienie układu równań:
{Lx( x, y ; λ) = Fx(x, y) + λGx(x, y) = 0
{Ly (x, y; λ) = Fy(x, y) + λGy(x, y) = 0
{G(x, y) = 0
Stąd:
{Lx = 0
{Ly = 0
{- x² - y² + 5 = 0
{1 - 2 λx = 0
{2 - 2 λx = 0
{- x² - y² + 5 = 0
{- 2 λx = - 1 /:{- 2λ)
{- 2 λy = - 2 /:{- 2λ)
{- x² - y² = - 5 /·(- 1)
{x = 1 / 2λ
{y = 1 / λ
{(1 / 2λ)² + (1 / λ)² = 5
Rozwiążemy trzecie równanie układu
1 / 4λ² + 1 / λ² = 5 /· λ²
1 / 4 + 1 = 5λ²
5 / 4 = 5λ² /:5
λ² = 1 / 4
λ₁ = ½ lub λ₂ = - ½
λ₁ = ½
x₁ = 1 / (2 · ½) = 1
y₁ = 1 / ½ = 2
λ₂ = - ½
x₂ = 1 / [2 · (- ½ )] = - 1
y₂ = 1 / (- ½) = - 2
Zatem punktami spełniający ten układ równań są punkty A = (1, 2) i B = (- 1, - 2), czyli są to punkty stacjonarne funkcji F (x, y) przy warunku G(x, y) = 0.
Zgodnie z metodą mnożników Lagrange’a warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego funkcji F(x, y) w punktach stacjonarnych A i B wyznacza znak wyrażenia
W(A) = Lxx(A) · Lyy(A) - [Lxy(A)]²
W(B) = Lxx(B) · Lyy(A) - [Lxy(B)]²
Ponieważ:
Lxx = - 2 λ
Lyy = - 2 λ
Lxy = 0
to otrzymujemy:
W(A) = - 2 λ · (- 2 λ) - 0² = 4 λ²
W(B) = - 2 λ · (- 2 λ) - 0² = 4 λ²
W(A) = W(B) = 4 λ² > 0
Zatem w obu punktach stacjonarnych A i B są ekstrema warunkowe.
Lxx(A) = - 1 < 0, czyli w punkcie A = (1, 2) jest maksimum warunkowe funkcji F(x, y) = x +2y i wynosi F(1, 2) = 1 + 2 · 2 = 1 + 4 = 5.
Lxx(B) = 1 > 0, czyli w punkcie B = (- 1, - 2) jest minimum warunkowe funkcji F(x, y) = x +2y i wynosi F(- 1, - 2) = - 1 + 2 · (- 2) = - 1 – 4 = - 5.
Korzystamy z metody mnożników Lagrange’a
Dana jest funkcja F(x, y) = x + 2y, czyli równanie z = x + 2y w przestrzeni trójwymiarowej jest równaniem płaszczyzny, a warunek x² + y² = 5 to równanie okręgu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu √5.
Zatem ekstremum warunkowe wyznaczy na tej płaszczyźnie punkty ekstremalne, które odpowiadają punktom leżącym na tym okręgu.
Dana funkcja: F(x, y) = x + 2y
Warunek: G(x, y ) = 5 - x² - y²
Wyznaczamy funkcję pomocniczą:
L(x, y; λ) = x + 2 y + λ(5 - x² - y²), gdzie λ jest nieznanym współczynnikiem
i zgodnie z metodą mnożników Lagrange’a warunkiem koniecznym istnienia ekstremum warunkowego jest spełnienie układu równań:
{Lx( x, y ; λ) = Fx(x, y) + λGx(x, y) = 0
{Ly (x, y; λ) = Fy(x, y) + λGy(x, y) = 0
{G(x, y) = 0
Stąd:
{Lx = 0
{Ly = 0
{- x² - y² + 5 = 0
{1 - 2 λx = 0
{2 - 2 λx = 0
{- x² - y² + 5 = 0
{- 2 λx = - 1 /:{- 2λ)
{- 2 λy = - 2 /:{- 2λ)
{- x² - y² = - 5 /·(- 1)
{x = 1 / 2λ
{y = 1 / λ
{(1 / 2λ)² + (1 / λ)² = 5
Rozwiążemy trzecie równanie układu
1 / 4λ² + 1 / λ² = 5 /· λ²
1 / 4 + 1 = 5λ²
5 / 4 = 5λ² /:5
λ² = 1 / 4
λ₁ = ½ lub λ₂ = - ½
λ₁ = ½
x₁ = 1 / (2 · ½) = 1
y₁ = 1 / ½ = 2
λ₂ = - ½
x₂ = 1 / [2 · (- ½ )] = - 1
y₂ = 1 / (- ½) = - 2
Zatem punktami spełniający ten układ równań są punkty A = (1, 2) i B = (- 1, - 2), czyli są to punkty stacjonarne funkcji F (x, y) przy warunku G(x, y) = 0.
Zgodnie z metodą mnożników Lagrange’a warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego funkcji F(x, y) w punktach stacjonarnych A i B wyznacza znak wyrażenia
W(A) = Lxx(A) · Lyy(A) - [Lxy(A)]²
W(B) = Lxx(B) · Lyy(A) - [Lxy(B)]²
Ponieważ:
Lxx = - 2 λ
Lyy = - 2 λ
Lxy = 0
to otrzymujemy:
W(A) = - 2 λ · (- 2 λ) - 0² = 4 λ²
W(B) = - 2 λ · (- 2 λ) - 0² = 4 λ²
W(A) = W(B) = 4 λ² > 0
Zatem w obu punktach stacjonarnych A i B są ekstrema warunkowe.
Lxx(A) = - 1 < 0, czyli w punkcie A = (1, 2) jest maksimum warunkowe funkcji F(x, y) = x +2y i wynosi F(1, 2) = 1 + 2 · 2 = 1 + 4 = 5.
Lxx(B) = 1 > 0, czyli w punkcie B = (- 1, - 2) jest minimum warunkowe funkcji F(x, y) = x +2y i wynosi F(- 1, - 2) = - 1 + 2 · (- 2) = - 1 – 4 = - 5.