2x^{3} +xy ^{2} +5x ^{2} +y ^{2} +23 Prosze o pomoc trzeba wyznaczyc extremum lokalne funkcji dwoch .... Question from @blandyna18

blandyna18 @blandyna18

October 2018 1 35 Report

2x^{3} +xy ^{2} +5x ^{2} +y ^{2} +23 Prosze o pomoc trzeba wyznaczyc extremum lokalne funkcji dwoch zmiennych

Roma

$f(x, y) = 2x^3 +xy^2 +5x^2 +y^2 +23$

Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f:

$f_x = 6x^2 +y^2 +10x$

$f_y = 2xy +2y$

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji f, czyli rozwiązujemy układ równa:

$\left \{ {{f_x = 0} \atop {f_y = 0}} \right.$

Zatem:

$\left \{ {{6x^2 +y^2 +10x = 0} \atop {2xy +2y = 0}} \right.$

$\left \{ {{6x^2 +y^2 +10x = 0} \atop {2y \cdot (x + 1) = 0}} \right.$

Rozwiążemy drugie równanie układu:

$2y \cdot (x + 1) = 0$

$2y = 0 \ /:2 \ lub \ x + 1 = 0$

$y = 0 \ lub \ x = - 1$

Stąd:

$\left \{ {{6x^2 +y^2 +10x = 0} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{6x^2 +y^2 +10x = 0} \atop {x = - 1}} \right.$

$\left \{ {{6x^2 +0^2 +10x = 0} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{6 \cdot (-1)^2 +y^2 +10 \cdot (-1) = 0} \atop {x = - 1}} \right.$

$\left \{ {{6x^2 +10x = 0} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{6 +y^2 - 10 = 0} \atop {x = - 1}} \right.$

$\left \{ {{3x \cdot (2x + 5) = 0} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{y^2 - 4= 0} \atop {x = - 1}} \right.$

$\left \{ {{2x \cdot (3x + 5) = 0} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{(y -2)(y + 2)= 0} \atop {x = - 1}} \right.$

$\left \{ {{2x = 0 \ lub \ 3x + 5 = 0} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{y -2 = 0 \ lub \ y + 2= 0} \atop {x = - 1}} \right.$

$\left \{ {{2x = 0 \ /:2} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{3x + 5 = 0} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{y -2 = 0} \atop {x = - 1}} \right. \ lub \ \left \{ { y + 2= 0} \atop {x = - 1}} \right.$

$\left \{ {{x = 0} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{3x = - 5 \ /:3} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{y = 2} \atop {x = - 1}} \right. \ lub \ \left \{ { y = - 2} \atop {x = - 1}} \right.$

$\left \{ {{x = 0} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{x = - \frac{5}{3}} \atop {y = 0}} \right. \ lub \ \left \{ {{y = 2} \atop {x = - 1}} \right. \ lub \ \left \{ { y = - 2} \atop {x = - 1}} \right.$

Mamy 4 punkty stacjonarne:

A₁ = (0; 0), A₂ = (- ⁵/₃; 0), A₃ = (-1; 2), A₄ = (-1; - 2)

Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f:

$f_{xx} = (6x^2 +y^2 +10x)_x = 12x + 10$

$f_{xy} = (2xy +2y)_x = 2y$

$f_{yy} = (2xy +2y)_y = 2x + 2$

Zatem:

$W(x, \ y) = \left|\begin{array}{cc}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{array}\right| (x, \ y) = \left|\begin{array}{cc}12x + 10&2y\\2y&2x + 2\end{array}\right|$

Wyznaczamy wartości wyznacznika W(x, y) w punktach stacjonarnych i zbadamy charakter tych punktów:

$A_1 = (0; \ 0)$

$W(0; \ 0) = \left|\begin{array}{cc}12 \cdot 0+ 10&2 \cdot 0\\2 \cdot 0&2 \cdot 0 + 2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}10&0\\0& 2\end{array}\right| =$

$= 10 \cdot 2 - 0 \cdot 0 = 20 > 0$

czyli funkcja f w punkcie $A_1 = (0; \ 0)$ ma ekstremum lokalne.

$f_{xx}(0; \ 0) = 12 \cdot 0 + 10 = 10 > 0$

zatem funkcja f w punkcie $A_1 = (0; \ 0)$ ma właściwe minimum lokalne:

$min\{f(x, \ y)\} = 2 \cdot 0^3 + 0\cdot 0^2 +5 \cdot 0^2 + 0^2 +23 = 23$

$A_2 = (-\frac{5}{3}; \ 0)$

$W(-\frac{5}{3}; \ 0) = \left|\begin{array}{cc}12 \cdot (-\frac{5}{3}) + 10&2 \cdot 0\\2 \cdot 0&2 \cdot (-\frac{5}{3}) + 2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}-10&0\\0&-\frac{4}{3} \end{array}\right| =$

$= -10 \cdot (-\frac{4}{3}) - 0 \cdot 0 = \frac{40}{3} > 0$

czyli funkcja f w punkcie $A_2 = (-\frac{5}{3}; \ 0)$ ma ekstremum lokalne.

$f_{xx}(-\frac{5}{3}; \ 0) = 12 \cdot (-\frac{5}{3}) + 10 = - 10 < 0$

zatem funkcja f w punkcie $A_2 = (-\frac{5}{3}; \ 0)$ ma właściwe maksimum lokalne:

$max \{f(x, \ y)\} = 2 \cdot (-\frac{5}{3})^3 +(-\frac{5}{3}) \cdot 0^2 +5 \cdot (-\frac{5}{3})^2 +0^2 +23 =$

$= -\frac{250}{27} +\frac{125}{9} +23 = -\frac{250}{27} +\frac{375}{27} +\frac{621}{27} = \frac{746}{27} = 27\frac{17}{27}$

$A_3 = (-1; \ 2)$

$W(-1; \ 2) = \left|\begin{array}{cc}12 \cdot (-1) + 10&2 \cdot 2\\2 \cdot 2&2 \cdot (-1) + 2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}-2&4\\4&0 \end{array}\right| =$

$= -2 \cdot 0 - 4 \cdot 4 = 0 - 16 = - 16 < 0$

czyli funkcja f w punkcie $A_3 = (-1; \ 2)$ nie ma ekstremum lokalnego.

$A_4 = (-1; \ - 2)$

$W(-1; \ - 2) = \left|\begin{array}{cc}12 \cdot (-1) + 10&2 \cdot (-2)\\2 \cdot (-2)&2 \cdot (-1) + 2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}-2&- 4\\- 4&0 \end{array}\right| =$