Question

Znajdz wszystkie takie liczby rzeczywiste b, aby wielomian
w(x)=(x² +bx + 4)(x - 1)
miał 3 różne pierwiastki których suma jest mniejsza od 9

Answer 1

(x)=(x² +bx + 4)(x - 1)
miał 3 różne pierwiastki których suma jest mniejsza od 9

Poniewaz wielomian jest w postaci iloczynowej , więc jednym z pierwiastków jest x -1 = 0 czyli x = 1

x1 + x2 + x3 < 9
x1 + x2 + 1 < 9
x1 + x2 < 8
rozwiazuję więc równanie kwadratowe (x² +bx + 4) = 0

warunki aby mogły istnieć 2 pierwiastki sa następujace

Δ ≥ 0
x1 + x2 < 8

b² - 4*1*4 ≥ 0
-b : a < 8 ( ze wzorów Viete`a x1 + x2 = -b : a)

b² -16 ≥ 0
-b : 1 < 8

(b - 4)( b + 4) ≥ 0
-b < 8 /:(-1)

(b - 4)( b + 4) ≥ 0
b > - 8 ( przy dzieleniu przez liczbe ujemną zmienia sie nak nierówności na przeciwny

Rozwiazaniem nierówności (b - 4)( b + 4) ≥ 0 jest :
b ∈ (- ∞ , -4 > ∨ , < 4 , +∞)

Rozwiazaniem nierówności b > - 8 jest:
b ∈ (- 8 , + ∞ )

Ogólnym rozwiazaniem jest wspólna część obu rozwiazań

b ∈ ( - 8, -4 > ∨ < 4, + ∞)