Question

znajdz taka wartosc x,aby liczby 10,x,20 były trzema poczatkowymi wyrazami ciagu geometrycznego o wyrazach dodatnich. oblicz sume szesnastu poczatkowych wyrazow tego ciagu.

prosze bardzo pilne!!

Answer 1

10, x, 20  - początkowe wyrazy ciągu geometrycznego, zatem

x /10 = 20/x

x² = 10*20 = 200

x =√200 = √100*√2 = 10√2

Odp.  x = 10√2

a1 = 10, a2 = 10√2, a3 = 20

q = a2 : a1 = a3 : a2 = 10√2 : 10 = √2

S16 = a1*[1 - q¹⁶]/[ 1 - q] = 10*[1 - (√2)¹⁶]/[1 - √2] = 10*[1 - 2⁸]/[1 - √2] =

= 10*[1 - 256]/[1 -√2] = - 10*255/[1 -√2] = - 2550/[1 - √2] =

= [ - 2 550 *(1 + √2)]/[1 -√2)(1 + √2)] = [ -2550(1 + √2)]/[1 -2] =

=  2550 (1 + √2)

================================

(√2)¹⁶ = [(√2)²]⁸ = 2⁸ = 256

Answer 2

z ciągu geometrycznego:

 

ale x > 0

 

iloraz:

 

ponieważ mamy x ≠ 1 to zachodzi:

 

jak masz pytania to pisz na pw

Answer 3

Iloraz ciągu geom.:

 

q  =  a2/a1  =  a3/a2

 

Czyli

x/10  =  20/x

x² = 200

 

x1 = 10 √2

 

(x2 = -10 √2 < 0 -- odrzucamy: wyrazy mają być dodatnie).

 

q = x/a1

 

czyli:

 

q  = 10 √2 / 10

q  =   √2

 

Mamy więcciąg:

10;  10√2;  20;  20√2;  40;  . . .

 

 

Suma:

 

S  =  a1 * (q^n - 1) / (q - 1)

 

 

S  =  10 * ((√2)^16 - 1) / (√2 - 1)

S  =  10  *  (2^8 - 1) / (√2 - 1)

S  =  10 * 255 /(√2 - 1)

S  =  2550 * (√2 + 1) / (2 - 1)

 

S  =  2550 * (√2 + 1)