Question

Znajdz sume n-wyrazow (n=10) ciagu geometrycznego malejacego, dla ktorego suma pierwszych trzech wyrazow wynosi 7, a ich iloczyn wynosi 8.

Prosze o podanie rozwiazania.

Answer 1

a1 + a1*q + a1*q^2 = 7

a1*( a1*q)*(a1*q^2) = 8

-------------------------------

(a1)^3 * q^3 = 8

(a1*q)^3 = 8

a1*q = 2  => q = 2/a1

Wstawiam do 1) równania

a1 + 2 + a1*[ 2/a1]^2 = 7

a1 + a1*[4/(a1)^2 ] = 5

a1 + 4/a1 = 5   / * a1

(a1)^2 + 4 = 5 a1

(a1)^2 - 5 a1 + 4 = 0

-----------------------------

delta = (-5)^2 - 4*1*4 = 25 - 16 = 9

p(delty) = 3

a1 = [ 5 - 3]/2 = 2/2 = 1  lub   a1 = [ 5 + 3]/2 = 8/2 = 4

wtedy

q = 2/1 = 2                     lub          q = 2/4 = 1/2

Ciąg geometryczny jest malejący, gdy  a1 = 4  i   q = 1/2

===================================================

Korzystamy z wzoru na sumę ciągu geometrycznego:

Sn = a1*[1 - q^n]/ [ 1 - q ]

Mamy

n = 10

a1 = 4

q = 1/2

zatem

S10 = 4*[ 1 - (1/2)^10 ]/[ 1 - 1/2] = 4*[1 - 1/1024]/( 1/2) =

= 8* [ 1023/1024] = 1023/128

Odp. S10 = 1023/128 = 7  127/128

====================================