Question

Znajdź wszystkie liczby całkowite w, y spełniające równość: 2(x+y) = 7 + xy

Bardzo proszę o odpowiedź z krótkim wyjaśnieniem dlaczego i podpowiedziami jak to się robi !!!

Z góry dziękuję =)

Answer 1

2(x+y) = 7 + xy {wyznaczamy zależność y(x)}
2x + 2y = 7 + xy
2y - xy = 7 - 2x
y(2 - x) = 7 - 2x {wyłączamy y przed nawias i dzielimy stronami
przez wyrażenie (2-x)}
y = (7-2x)/(2-x) {można zauważyć, że 7-2x = 4-2x+3 = 2(2-x) + 3}
y = [2(2-x)+3]/(2-x) = [2(2-x)]/(2-x) + 3/(2-x)
{ następnie skracamy licznik i mianownik ułamka [2(2-x)]/(2-x)
przez (2-x),gdzie x≠ 2}
otrzymujemy
y = 2 + 3/(2-x)
ponieważ x i y są liczbami całkowitymi, więc ułamek
3/(2-x) musi być liczbą całkowitą
stąd wyrażenie (2-x) musi być dzielnikiem całkowitym liczby 3
Dzielniki całkowite liczby 3 to: -3, -1, 1, 3
stąd
1) 2-x = -3, x = 5
2) 2-x = -1, x = 3
3) 2-x = 1, x = 1
4) 2-x = 3, x = -1
teraz obliczamy y = 2+3/(2-x)
1) y = 2+ 3/(2-x) = 2 + 3/(2-5) = 2 + 3/(-3) = 2 -1 = 1
2) y = 2+ 3/(2-x) = 2 + 3/(2-3) = 2 + 3/(-1) = 2 - 3 = -1
3) y = 2+ 3/(2-x) = 2 + 3/(2-1) = 2 + 3/1 = 2 + 3 = 5
4) y = 2+ 3/(2-x) = 2 + 3/(2+1) = 2 + 3/3 = 2 + 1 = 3
{pamiętamy, że przy dzieleniu wzięliśmy x≠ 2, więc sprawdzamy
teraz wartość wyrażenia 2(x+y) = 7 + xy dla x = 2,
2(x+y) = 7 + xy
2(2+y) = 7 + 2y
4+2y = 7+2y mamy sprzeczność, więc x = 2 nie jest rozwiązaniem
Odp. Zatem rozwiązaniem są pary liczb:
1) x = 5 i y = 1
2) x = 3 i y = -1
3) x = 1 i y = 5
4) x = -1 i y = 3
Sprawdzenie
2(x+y) = 7+ xy
1) 2(x+y) = 2(5+1) = 2*6=12, 7+xy = 7+5*1=12
2) 2(x+y) = 2(3-1) = 2*2=4, 7+xy = 7+3*(-1)=7-3=4
3) 2(x+y) = 2(1+5) = 2*6=12, 7+xy = 7+1*5=12
4) 2(x+y) = 2(-1+3) = 2*2=4, 7+xy = 7+(-1)*3=7-3=4