Question

Znajdź równanie symetralnej odcinka AB, jeśli A(3;4), B(-3;2).

Answer 1

Najpierw szukamy równania prostej zawierającej odcinek AB. 

y=ax +b 

4=3a+b

2=-3a +b

 

b=4-3a

2=-3a+4-3a

 

b=4-3a

6a=2

 

a=1/3

b=3

 

y=1/3x +3

 

Teraz szukamy rozwiązania, czyli prostej przechodzącej przez środek AB, czyli punkt (0,3) oraz prostopadłej do poprzedniej prostej, zatem ich współczynniki kierunkowe muszą spełniać zależność (as - wsp. kier szukanej prostej; bs - wyraz wolny szuk. prostej): a*as=-1

 

1/3*as = -1

as = -3

 

3=-3*0 + bs

bs=3

 

Zatem równianie symetralnej odcinka AB to:

y=-3x+3

Answer 2

Dany jest odcinek AB o końcach A = (3; 4), B = (-3; 2)

 

I sposób

Aby znaleźć równanie symetralnej odcinka, która przechodzi przez środek odcinka AB i jest do niego prostopadła wyznaczamy:

- równanie prostej zawierającą odcinek AB, czyli prostej przechodzącej przez dwa punkty. Prosta przechodząca przez punkty A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) ma równanie:

(x₂ - x₁)(y - y₁) = (y₂ - y₁)(x - x₁)

Zatem:

(- 3 - 3)(y - 4) = (2 - 4)(x - 3)

- 6y + 24 = - 2x + 6

- 6y = - 2x + 6 - 24

- 6y = - 2x - 18  /:(- 6)

y = ⅓x + 3

- środek odcinka AB. Środek odcinka o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) ma współrzędne:

S = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)

Zatem:

S = ((3 - 3) / 2; (4 + 2) / 2) = (0 / 2; 6 / 2) = (0; 3)

- równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej odcinek AB i przechodzącej przez jego środek. Współczynniki prostych prostopadłych spełniają wzór: a₁·a₂ = - 1

Zatem szukamy równania prostej y = a₂x + b, która jest prostopadła do prostej y = ⅓x + 3 i przechodzącej przez punkt S = (0; 3):

⅓·a₂ = - 1 /·3

a₂ = - 3

y = a₂x + b

y = - 3x + b

S = (0; 3) ∈ y = - 3x + b, zatem

3 = - 3·0 + b

b = 3

y = - 3x + 3

 

II sposób

Równanie symestralnej odcinka o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) wyraża się wzorem:

(2·x - x₁ - x₂)(x₁ - x₂) + (2·y - y₁ - y₂)(y₁ - y₂) = 0

 

A= (3; 4), B = (-3; 2)

(2·x - 3 + 3)(3 + 3) + (2·y - 4 - 2)(4 - 2) = 0

2x · 6 + (2y - 6) · 2 = 0

12x + 4y - 12 = 0

4y = - 12x + 12 /:4

y = - 3x + 3

 

Odp. Równanie symetralnej odcinka AB wyraża się wzorem y = - 3x + 3.