Question

Na jutro nieszczęsne zadania typu udowodnij ;/. Zero liczenia trzeba znać własności.

Prosiłbym o takie tekstowe wytłumaczenie dlaczego tak jest w zadaniach.

1. Wykaż, że stosunek pól:

A) trójkątów równobocznych

B) prostokątów

jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

2. Wykaż, że stosunek pól podobnych,

A) trójkątów prostokątnych

B) prostokątów

jest równy kwadratowi skali podobieństwa

3. Wykaż, że pole S czworokąta o obwodzie 2p opisanego na okręgu o promieniu r jest tówne rp.

4. Wykaż, że jeżeli dwa okręgi są styczne zewnętrznie, to dowolna sieczna poprowadzona przez punkt styczności odcina na okręgach łuki, którym odpowiadają kąty środkowe.

5.udowodnij, że kwadrat średniej arytmetycznej dwóch liczb naturalnych jest większy od iloczynu tych liczb.

Answer 1

1.

a)

Skala podobieństwa k trojkata T2 do T1 oznacza, że dowolny bok a1 (lub wysokosc) trójkąta T1 w trójkącie podobnym T2 a2=a*k.

Co należało udowodnić.

 

b)Skala podobieństwa k prostokąta P2 do P1 oznacza, że dowolny bok a1 (lub wysokosc) prostokąta P1 w prostokącie podobnym P2 a2=a*k.

Co należało udowodnić.

 

2.

a)Skala podobieństwa k trojkata T2 do T1 oznacza, że dowolny bok a1 (lub wysokosc) trójkąta T1 w trójkącie podobnym T2 a2=a*k.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego T1: a,b

Przyprostokątne trójkata prostokatnego T2= k*a,k*b

Pola:

Co należało udowodnić.

b) dokładnie ten sam podpunkt co w 1a)

 

3.Rysunek w załączniku/

Zauważamy, że jeżeli czworokąt jest opisany na okręgu, promienie okręgu są prostopadłe do punktów styczności. Pole czworokąta składa się z pół 4 trójkątów o podstawach kolejno: a,b,c,d i wysokości h=r.

2p=(a+b+c+d). Pole czworokata:

Co należało udowodnić.

 

4. Rysunek w załączniku.

Pokazujemy, że sieczna wyznacza takie same kąty środkowe.

Trójkąty powstałe z połączenia środka okręgu z punktem styczności okręgu oraz (punktem przecięcia prostej prostopadłej do siecznej przechodzącej przez środk okręgu) są do siebie podobne z cechy k,k,k   (kąty alfa - kąty wierzchołkowe).

Wyliczając odpowiednie kąty udowadniamy, że:

Co należało udowodnić.

(alfa 1 i 2 to katy środkowe okręgów o środkach kolejno O1 , O2)

 

5.

Co należało udowodnić.