Question

Zenek jest starszy od Marka. Jeśli przestawimy obie cyfry liczby całkowitej wyrażającej wiek Zenka, to otrzymamy wiek Marka. Ponadto różnica kwadratów liczb wyrażaących wiek każdego z nich jest kwadratem liczby całkowitej. Ile lat ma Zenek, a ile Marek?

Proszę o pomoc. Pilne.

Answer 1

Oznaczamy:

a i b  - cyfry liczby dwucyfrowej

10a+b  - wiek Zenka

10b+a  - wiek Marka

10a+b > 10b+a  (Zenek jest starszy od Marka)

 

(10a+b)²-(10b+a)² = 100a²+20ab+b²-100b²-20ab-a² = 99a²-99b² = 99(a²-b²)

x² = 99(a²-b²)  I()√

x = √((99(a²-b²)) = √((9·11(a²-b²)) = 3√((11(a²-b²))  

Pod pierwiastkiem jest kwadrat liczby, co wynika z warunku, ze różnica kwadratów liczb wyrażjacych wiek kazdego z nich jest kwadratem liczby całkowitej, zatem:

a²-b² = 11  

a² = 11+b²  I()√

a = √(11+b²)

dla b = 1,  a = √12 - wykluczamy

dla b = 2,  a = √15  - wykluczamy

dla b = 3,  a = √20  - wykluczamy

dla b = 4,  a = √27  - wykluczamy

dla b = 5, a = √36 = 6

a = 6

b = 5

Wiek Zenka = 10a+b = 10·6+5 = 65

Wiek Marka = 10b+a = 10·5+6 = 56

Odp. Zenek ma 65 lat, a Marek 56.