Question

Zbadaj przebieg zmiennosci funkcji i naszkicuj jej wykres

Answer 1

nie wiem czy o to chodzi żeby przykładową dać ale tak zrobie:

  1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji. 2. Obliczamy granice na końcach dziedziny. 3. Wyznaczamy punkty przecięcia się wykresu funkcji z osią OY. Wstawiamy do równania funkcji za x wartość 0 i otrzymujemy f(0) = -2, czyli punkt, w którym wykres funkcji  styka się z osią OY to A = (0, -2).

Funkcja nie ma innych punktów wspólnych z osią OY.

4. Sprawdzanie parzystości i nieparzystości funkcji .

Zatem funkcja nie jest parzysta i nie jest nieparzysta

5. Obliczenie pochodnej funkcji.

Obliczając pochodną funkcji korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i ze wzoru, mamy

f ’(x) = ( x4 + 4x - 2)’ = 4x3 + 4.

6. Wyznaczenie przedziałów monotoniczności i ekstremów funkcji .

Badam warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, czyli sprawdzam dla jakich punktów z dziedziny funkcji pochodna tej funkcji zeruje się.

.

Zatem f ’(x) = 0 dla x = -1.

Zatem w punkcie x = -1 funkcja może mieć ekstremum, zbadajmy warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie  x = -1. (Czyli badamy znaki Badamy pierwszej pochodnej funkcji w otoczeniu punktu x = -1)

f ’(x) > 0 , 4x3 + 4 > 0 ,x3 + 1 > 0.

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

( a3 + b3 = (a + b )* (a2 - ab + b2), mamy

f ’(x) > 0 , (x +1) * (x2 - x + 1) > 0.

Ponieważ (x2 - x + 1) > 0 ( dla x ), gdyż                    3 = 1 - 4 = -3 < 0, to znak pochodnej funkcji f(x) zależy od znaku wyrażenia (x +1).

Stąd f ’(x) > 0 dlax > -1 i f ’(x) < 0 dlax < -1.

Zatem w punkcie x = -1 warunek dostateczny istnienia ekstremum jest spełniony i funkcja ma w punkcie x = -1 minimum lokalne. (Pochodna funkcji przy przejściu przez punkt x = -1 zmienia znak z minusa na plus.)

f(-1) = -5.

8. Obliczenie drugiej pochodnej funkcji.

Drugą pochodną funkcjiobliczymy stosując wzór . Czyli

f ’’(x) = [f’(x)]’ = [4x3 + 4]’ = 12x2.

9. Wyznaczanie przedziałów wklęsłości, wypukłości i punktów przegięcia funkcji.

f ’’(x) > 0 12x2 >0. Stąd  f ’’(x) > 0 dla x .

Zatem funkcja f(x) jest wypukła w całym zbiorze liczb rzeczywistych oraz funkcja f(x) nie ma punktów przegięcia

10. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji.

x (, -1) -1 (-1, ) - 0 - + 0 + -5
min.

11. Sporządzenie wykresu funkcji