Question

Zbadaj monotoniczność ciągu. Zadanie z załączniku.

Answer 1

W liczniku jest ciąg arytmatyczny
Sn =[2+2n]/2×n = (n+1)n (po uproszczeniu)
a w mianowniku n²+2n = n(n+2)
an = [(n+1)n]/[n(n+2)]= n+1/n+2 (n sie skrócą)
aby zbadać monotoniczność badam an+1 -an
an+1 = n+1+1/n+1+2=n+2/n+3
liczę różnicę
an+1 - an = n+2/n+3 - n+1/n+2
sprowadzam do wspólnego mianownika
= [(n+2)(n+2) - (n+1)(n+3)]/[(n+3)(n+2)]= [-2n+1]/[(n+3)(n+2)] <0
bo mianownik zawsze dodatni, a licznik ujemny
zatem ten ciąg jest malejący