Question

Zbadaj czy wielomian W(x)=x^21+2x-3 jest podzielny przez dwumian x+1


dla jakich wartosci a i b liczby 3 i -1 sa pierwiastkami wielomianu x³ax²+bx-3 ? znajdz trzeci pierwiastek tego wielomianu

Answer 1

W(x)=x²¹+2x-3
Z tw.Bezoulta. Można to od razu sprawdzić wstawiając za x liczbę (-1) jeśli wyjdzie W(-1)=0 to oznacza że jest podzielny
W(-1)=(-1)²¹+2*(-1)-3=-1-2-3=-6≠0 więc nie jest podzielny
(podzielny by był przez dwumian x-1 bo W(1)=1²¹+2*1-3=1+2-3=0)



W(x)=x³+ax²+bx-3
W(3)=0, W(-1)=0
W(3)=3³+a3²+b3-3=27+9a+3b-3=9a+3b+24=0
W(-1)=(-1)³+a(-1)²+b(-1)-3=(-1)+a-b-3=a-b-4=0

9a+3b+24=0
a-b-4=0 /*3

9a+3b+24=0
3a-3b-12=0
Dodaję stronami
12a+12=0
12a=-12 /:12
a=-1

a-b-4=0, a=-1
-1-b-4=0
-b-5=0
-b=5 /:(-1)
b=-5
zatem W(x)=x³-x²-5x-3
(x+1)(x-3)(x-k)=x³-x²-5x-3
(x²-3x+x-3)(x-k)=x³-x²-5x-3
x³-kx²-3x²+3kx+x²-kx-3x+3k=x³-x²-5x-3
x³+x²(-k-3+1)+x(3k-k-3)+3k=x³-x²-5x-3
-k-3+1=-1, -k-2=-1, -k=-1+2, -k=1 /:(-1), k=-1
3k-k-3=-5, 2k-3=-5, 2k=-5+3, 2k=-2 /:2, k=-1
3k=-3 /:3, k=-1
Zatem ostatnim pierwiastkiem (rozwiązaniem) jest (-1), zatem (-1) jest podwójnym pierwiastkiem tego wielomianu
(x+1)²(x-3)=(x²+2x+1)(x-3)=x³-3x²+2x²-6x+x-3=x³-x²-5x-3