Question

Zbadaj czy funkcja jest monotoniczna jeśli:
a) liczbie dwucyfrowerj przyporządkowuje się lliczbę jej dzielników
b) liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje się liczbę o 5 mniejszą od niej

PROSZE O SZYBKA ODPOWIEDŹ DAJE NAJ!

Answer 1

Funkcja jest monotoniczna jeśli jest w swojej dziedzinie rosnąca albo malejąca albo niemalejąca albo nierosnąca albo stała.

Aby zbadać monotoniczność funkcji badamy znak różnicy f(x₂) − f(x₃), dla x₂ > x₁, przy czym x₁, x₂ należą do dziedziny funkcji i jeśli dla:

x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) - f(x₁) > 0 to funkcja f(x) jest rosnąca

x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) - f(x₁) < 0 to funkcja f(x) jest malejąca

x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) - f(x₁) ≥ 0 to funkcja f(x) jest niemalejąca

x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) - f(x₁) ≤ 0 to funkcja f(x) jest nierosnąca

x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) - f(x₁) = 0 to funkcja f(x) jest stała

 

a)

f: liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje się liczbę jej dzielników

Df - dziedzina funkcji

Df = {n ∈ N: n ∈ <10; 99>}

ZW = {d ∈ N: d to liczba dzielników liczby n}

 

Częściowa tabelka:

n = 10 ⇒ D₁₀ = {1, 2, 5, 10} ⇒ d = 4

n = 11 ⇒ D₁₁ = {1, 11} ⇒ d = 2

n = 12 ⇒ D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ⇒ d = 6

n = 13 ⇒ D₁₃ = {1, 13} ⇒ d = 2

n = 14 ⇒ D₁₄ = {1, 2, 7, 14} ⇒ d = 4

n = 15 ⇒ D₁₅ = {1, 3, 5, 15} ⇒ d = 4

n = 16 ⇒ D₁₆ = {1, 2, 4, 8, 16} ⇒ d = 5

 

Z tabelki widać, że funkcja nie jest monotoniczna, bo wraz ze wzrostem argumentów n (liczb dwucyfrowych) wartości funkcji d (liczba dzielników) zarówno rośnie, jak i maleje, a nawet jest stała:

dla n = 10 i n = 11, 11 > 10 ⇒ f(10) = 4 i f(11) = 2, f(11) - f(10) = 2 - 4 = - 4 < 0

dla n = 11 i n = 12, 12 > 11 ⇒ f(12) = 6 i f(11) = 2, f(12) - f(11) = 6 - 2 = 4 > 0

dla n = 14 i n = 15, 15 > 14 ⇒ f(15) = 4 i f(14) = 4, f(15) - f(14) = 4 - 4 = 0

 

Odp. Funkcja nie jest monotoniczna

 

b)

f: liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje się liczbę o 5 mniejszą od niej

f(n) = n - 5, dla n ∈ N⁺

 

f(n₁) = n₁ - 5

f(n₂) = n₂ - 5

 

n₂ > n₁, czyli n₂ - n₁ > 0 ⇒ f(n₂) - f(n₁) = n₂ - 5 - (n₁ - 5) = n₂ - 5 - n₁ + 5 = n₂ - n₁ > 0,

czyli dla n₂ > n₁ ⇒ f(n₂) - f(n₁) > 0 zatem funkcja f(n) jest rosnąca.

 

Odp. Funkcja jest rosnąca.