Zaproponuj wzór na n-ty wyraz ciągu. c) 3, -9, 27, 81, 243, ... d) -1, 4, -9, 16, -25, 36, ... e) 1,.... Question from @Mandark17

December 2018 1 730 Report

Zaproponuj wzór na n-ty wyraz ciągu.
c) 3, -9, 27, 81, 243, ...
d) -1, 4, -9, 16, -25, 36, ...
e) 1, √2, √3, 2, √5, √6, ...
f) √2, √3, √4, √5, √6, ...
g) $\frac{1}{1*2}, \ \frac{1}{2*3}, \ \frac{1}{3*4}, \ \frac{1}{4*5}$ , ...
h) $\frac{1}{1*4}, \ -\frac{1}{2*5}, \ \frac{1}{3*6}, \ -\frac{1}{4*7}, \ \frac{1}{5*8}$ , ...

Paawełek C)
a1=3^1
a2=3^2
a3=3^3
a4=3^4
....
an = 3^n.

d) jest to ciąg naprzemienny. Pierwszy wyraz jest ujemny, potem dodatni, ujemny, dodatni, ... Co zapisujemy jako (-1)^n
są to kwadraty kolejnych wyrazów (pominę minusy):
a1=1^2
a2=2^2
a3=3^2
...
Zatem:
$a_{n}=(-1)^{n} \cdot n^2$
e)
Zauważ, że 1 = pierwiastek z 1 a 2 = pierwiastek z 4. Mamy ciąg:
$\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\sqrt{6}.... \\ \hbox{Wiec od razu zaleznosc:} \\ a_n=\sqrt{n}$

W f) mamy dokładnie to samo, jednak zaczynamy od liczby o jeden większej, więc będzie pod pierwiastkiem liczba o 1 większa od numeru wyrazu ciągu. Stąd: $a_n=\sqrt{n+1}$

W g) masz w mianowniku iloczyn dwóch liczb.
Pierwszy czynnik tworzy ciąg 1, 2, 3, 4, 5, ... czyli an=n
drugi czynnik tworzy ciąg 2, 3, 4, 5, 6, ... czyli an=n+1
Skąd:
$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n^2+n}$

W h) masz znowu ciąg naprzemienny z tym że pierwszy wyraz jest dodatni, co zapisujemy jako (-1)^(n+1).

pierwszy czynnik tworzy ciąg 1,2,3,4,5,... czyli an=n
drugi czynnik tworzy ciąg 4,5,6,7,8,... czyli an=n+3
Zatem wzór ogólny:
$a_n=(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n(n+3)} = \frac{(-1)^{n+1}}{n^2+3n}$

24 votes Thanks 41