Zapisz w jak najprostszej postci.a) ( + 2)b) ( +5c) (+) do ptegi 3.... Question from @DAWID1

DAWID1 @DAWID1

September 2018 1 18 Report

Zapisz w jak najprostszej postci.

a) $\sqrt{2}$ ( $\sqrt{5}$ + 2 $\sqrt{2}$ )

b) $\frac{1}{2}$ $\sqrt[3]{9}$ ( $\sqrt[3]{3}$ +5 $\sqrt[3]{3}$

c) ( $\frac{1}{2}$ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{2})do potegi 2</p> <p>d) (3[tex]\sqrt[3]{2}$ $\sqrt[3]{-2}$ ) do ptegi 3

daria20201

$a1 = a an = aan − 1 \begin{matrix} a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\ & n \mbox{ razy} \\ \end{matrix} a0 = 1 a^{-n}=\frac{1}{a^n} \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n} a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m {a^p} \sdot {a^q} = a^{p+q} ap:aq = ap − q (ap)q = apq {(a \sdot b)}^p = {a^p} \sdot {b^p} \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p} [edytuj] Kilka podstawowych przykładów Przykład 1. Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie: a) 10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 Rozwiązanie: 10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = 5 \cdot 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = = 5 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 + 2^4 = (5+1) \cdot 2^3 + 2^4 = = 6 \cdot 2^3 + 2^4 = 3 \cdot 2^4 + 2^4 = = 4 \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6 b) 5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} Rozwiązanie: 5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = = 5^2\sqrt{5^3} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = = 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = = 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{4} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = = 5^3\sqrt{5} - 5^3 + 5^3\sqrt{5} + 5^3 + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = = 2 \cdot 5^3\sqrt{5} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = (2 + 3) \cdot 5^3 \sqrt{5} = 5^4 \sqrt{5} = 5^{9 \over 2} Przykład 2. Zapiszmy w postaci potęgi: a) \sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}} \sqrt{8\sqrt{32\sqrt{16\sqrt{128\sqrt{2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^7 \cdot 2^{1 \over 2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4\sqrt{2^{15 \over 2}}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^4 \cdot 2^{15 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5\sqrt{2^{31 \over 4}}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^5 \cdot 2^{31 \over 8}}} = \sqrt{2^3\sqrt{2^{51 \over 8}}} = \sqrt{2^3 \cdot 2^{51 \over 16}} = \sqrt{2^{63 \over 16}} = 2^{63 \over 32} b) \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}} \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot \sqrt[5]{9}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9 \cdot 9^{1 \over 5}}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{9^{6 \over 5}}}} = = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9 \cdot 9^{3 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot \sqrt[3]{9^{13 \over 10}}} = \sqrt{9 \cdot 9^{13 \over 30}} = = \sqrt{9^{43 \over 30}} = 9^{43 \over 60} Przykład 3. Udowodnijmy równość: a) \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = 8 L = \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = \frac{12 - 4 \sqrt{7}(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = \frac{12 - 28 + 2 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} = = \frac{8\sqrt{7} - 16}{\sqrt{7}-2} = \frac{8(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = 8 P = 8 czyli L = P b) \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 4\sqrt{10} + 8 L = \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{6} = 4(\sqrt{10}+2) = 4\sqrt{10} + 8 P = 4\sqrt{10} + 8 zatem L = P c) \sqrt{31-12\sqrt{3}} - 3\sqrt{4+2\sqrt{3}} = -5 L = \sqrt{27-12\sqrt{3}+4} - 3\sqrt{3+2\sqrt{3}+1} = \sqrt{(3\sqrt{3}-2)^2} - 3\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = = |3\sqrt{3}-2| - 3|\sqrt{3}+1| = (3\sqrt{3}-2) - 3(\sqrt{3}+1) = 3\sqrt{3} - 2 - 3\sqrt{3} - 3 = -5 P = 5 L = P Przykład 4. Udowodnijmy teraz, że liczba \sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} jest wymierna: \sqrt{101-36\sqrt{5}} + \sqrt{29+12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}-9)^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{5})^2} = = |2\sqrt{5}-9| + |3+2\sqrt{5}| = 9-2\sqrt{5} + 3+2\sqrt{5} = = 12 \in \mathbb{Q} Przykład 5. Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} jest niewymierna: \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} + \sqrt{(1-2\sqrt{3})^2} = = |\sqrt{3}+2| + |1-2\sqrt{3}| = \sqrt{3}+2 + 2\sqrt{3} -1 = = 3\sqrt{3} + 1 \not\in \mathbb{Q} [edytuj] Funkcja potęgowa Definicja DEFINICJA Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem f(x) = xp. Dziedzina funkcji potęgowej: Jeśli p \in \mathbb{N}_+, to D_f=\mathbb{R} Jeśli p \in \mathbb{C}, to D_f = R \backslash \{0\} Jeśli p \in \mathbb{W}: dla p > 0, to D_f=\mathbb{R}_+\cup\{0\} dla p < 0, to D_f=\mathbb{R}_+ Informacja Bardziej formalne oznaczenie zbioru C (liczb całkowitych) to \mathbb{Z}, natomiast W (liczb wymiernych) to \mathbb{Q}. [edytuj] Wykres [edytuj] O wykładniku równym zero Funpot-wykr0.png W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że D=\mathbb{R} \backslash \{0\} . Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia 00 jest nieokreślona. [edytuj] O wykładniku dodatnim parzystym Funpot-wykr1.png Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1). Własności: D_f = \mathbb{R} ZW_f = \mathbb{R}_+ \cup \{0\} Miejsce zerowe funkcji: x0 = 0 Wartości dodatnie: f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R} \backslash \{0\} Wartości ujemne: f(x)<0 \iff x \in \varnothing , funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych Ekstrema: Minimum: dla x = 0 f(x) = 0 Maksimum: nie przyjmuje wartości największej Monotoniczność: Rośnie dla x \in (0,+\infty) Maleje dla x \in (-\infty,0) Funkcja nie jest różnowartościowa Funkcja jest parzysta Funkcja nie jest nieparzysta [edytuj] O wykładniku dodatnim nieparzystym Funpot-wykr2.png Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1). Własności: D_f = \mathbb{R} ZW_f = \mathbb{R} Miejsce zerowe funkcji: x0 = 0 Wartości dodatnie: f(x)>0 \iff x \in \mathbb{R}_+ \backslash \{0\} Wartości ujemne: f(x)<0 \iff x \in \mathbb{R}_- \backslash \{0\} Ekstrema: Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej Maksimum: nie przyjmuje wartości największej Monotoniczność: Rośnie dla x \in \mathbb{R} Funkcja jest różnowartościowa Funkcja nie jest parzysta Funkcja jest nieparzysta [edytuj] O wykładniku ujemnym parzystym Funpot-wykr3.png Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi: y>1 \iff x \in (-1;0) \cup (0;1) Własności: D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\} ZW_f = \mathbb{R}_+ Miejsce zerowe funkcji: brak Wartości dodatnie: f(x)>0 \iff x \in D_f Wartości ujemne: f(x)<0 \iff x \in \varnothing Ekstrema: Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej Maksimum: nie przyjmuje wartości największej Monotoniczność: Rośnie dla x \in (-\infty;0) Maleje dla x \in (0;+\infty) Funkcja nie jest różnowartościowa Funkcja jest parzysta Funkcja nie jest nieparzysta Asymptoty: x = 0 i y = 0 [edytuj] O wykładniku ujemnym nieparzystym Funpot-wykr4.png Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także: y>1 \iff x \in (0;1) Własności: D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\} ZW_f = \mathbb{R} \backslash \{0\} Miejsce zerowe funkcji: brak Wartości dodatnie: f(x)>0 \iff x \in (0;+\infty) Wartości ujemne: f(x)<0 \iff x \in (-\infty;0) Ekstrema: Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej Maksimum: nie przyjmuje wartości największej Monotoniczność: Maleje w przedziale x \in (-\infty;0) i przedziale x \in (0;+\infty) Funkcja jest różnowartościowa Funkcja nie jest parzysta Funkcja jest nieparzysta Asymptoty: x = 0 i y = 0 [edytuj] Rozwiązywanie równań potęgowych Przykładami równań potęgowych może być: x^{\frac{2}{3}}=9, 7x^{4}=2\sqrt{7}, x+x^{\frac{1}{2}}=12. W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{3} i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób: Ustalamy dziedzinę: x^{\frac{3}{2}}= \sqrt{3}, D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\} Przekształcamy pierwiastek na potęgę: x^{\frac{3}{2}}= 3^\frac{1}{2} Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi \frac{2}{3} : \left(x^\frac{3}{2}\right)^\frac{2}{3} = \left(3^\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3} Czyli: x=3^\frac{1}{3} Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28 : Ustalamy dziedzinę: x^\frac{2}{5}+3x^\frac{1}{5}=28,~D=\mathbb{R}_+ \cup \{0\} Podstawmy: x^\frac{1}{5}=t,~t \geq 0 i otrzymujemy równanie kwadratowe: t2 + 3t − 28 = 0 Czyli: t_1=-7,~\notin D t_2=4,~\in D Otrzymujemy: x^\frac{1}{5}=t_2=4 x = 45 = 1024 Spójrzmy na jeszcze inny przykład: \sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6}=3 . Ustalamy dziedzinę: 4x+5 \geq 0 \and 2x-6 \geq 0 \iff x \geq -\frac{5}{4} \and x \geq \frac{6}{2} \iff x \geq 3 Czyli: D=\left[3;+\infty\right) Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia: \begin{align} (\sqrt{4x+5}-\sqrt{2x-6})^2&=9\\ 4x+5-2\sqrt{(4x+5)(2x-6)}+2x-6&=9\\ -2\sqrt{8x^2-14x-30}&=-6x+10\quad\Big/:(-2)\\ \sqrt{8x^2-14x-30}&=3x-5 \end{align} Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki: x \in \left[3;+\infty\right) \and 8x^2-14x-30 \geq 0 \and 3x-5 \geq 0 \iff x \in \left[3;+\infty\right) \and x \in \left(-\infty;-\frac{4}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{3};+\infty;\right) \and x \geq \frac{5}{3} \iff x \in \left[3;+\infty\right) I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu: 8x2 − 14x − 30 = (3x − 5)2 8x2 − 14x − 30 = 9x2 − 30x + 25 − x2 + 16x − 55 = 0 Czyli: x_1=5,~\in \left[3;+\infty\right) x_1=11,~\in \left[3;+\infty\right) Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11. [edytuj] Rozwiązywanie nierówności potęgowych Przykładem nierówności potęgowej może być: x2 > x − 3 x^\frac{1}{2}-3x^\frac{1}{4}+1>0 3x^\frac{1}{6}>x^\frac{1}{4} Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności: Ustalamy dziedzinę. Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę. Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności: \frac{a}{b}>0 \iff ab>0 \frac{a}{b}<0 \iff ab<0 Udzielamy odpowiedzi. Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez xk, gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ xk zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie. Przykład 1 Chcemy rozwiązać nierówność x − 4 > x − 3. Możemy to zrobić w standardowy sposób: Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią: x^{-4}>x^{-3},~D=\mathbb{R} \backslash \{0\} \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3} Przenosimy wszystko na lewą stronę: \frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^3}>0 Sprowadzamy do wspólnego mianownika: \frac{1}{x^4}-\frac{x}{x^4}>0 \frac{1-x}{x^4}>0 \iff x^4(1-x)>0 − x4(x − 1) > 0 Otrzymujemy dwa miejsca zerowe: x1 = 0 o krotności 4 x2 = 1 o krotności 1 Matematyka dla liceum-nierpot-wykr1.png Rozwiązaniem nierówności jest x \in (-\infty;0) \cup (0;1) Nierówność x − 4 > x − 3 możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny D=\mathbb{R} \backslash \{0\}) wymnażając obie strony przez x4, ponieważ x4 > 0 dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy: \frac{1}{x^4}>\frac{1}{x^3} / \sdot x^4 1 > x Uwzględniając dziedzinę D = \mathbb{R} \backslash \{0\} otrzymujemy, że x \in (-\infty;0) \cup (0;1) . Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy. Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np. x5 (wykładnik nieparzysty), ponieważ x5 może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez x5 nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń. Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez x4 (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy x4 = 0, czyli gdy x = 0. Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np. x+5 \geq 10 przechodzi na 0 \geq 0 (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy x4 = 0), a także która z liczb x \neq 0 spełnia wymnożoną nierówność (wtedy x^4 \neq 0). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań. Na szczęście w powyższym przykładzie D = \mathbb{R} \backslash \{0\} , czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy. [edytuj] Funkcja wykładnicza Definicja DEFINICJA Funkcja wykładnicza jest to funkcja określona wzorem f(x) = ax dla a > 0 i a \neq 1 . Przykładem funkcji wykładniczej może być: y = 2x y=\left(2\frac{1}{2}\right)^x y = 102x, co jest równoznaczne y = (102)x = 100x [edytuj] Wykres i własności Matematyka dla liceum-Funwyk-wykr.png Matematyka dla liceum-Funwyk-wykr2.png Patrząc na funkcję y = 2x i y=\left(\frac{1}{2}\right)^x (kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami y = 3x i y=\left(\frac{1}{3}\right)^x (kolor granatowy), a także y=\left(\frac{3}{2}\right)^x i y=\left(\frac{2}{3}\right)^x (kolor zielony). Możemy przypuszczać, że wykresy f(x) = ax, a także g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest: f(x)=a^x=(a^{-1})^{-x}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-x}=g(-x) . Własności: D = R ZW = R + , czyli ax > 0 Wykres funkcji y = ax jest symetryczny względem osi OY do wykresu funkcji y=\left(\frac{1}{a}\right)^x Funkcja nie posiada miejsc zerowych Funkcja przecina oś OY w punkcie (0;1), ponieważ \forall_{a \neq 0}\ a^0 = 1 Funkcja jest różnowartościowa Dla a \in (1; +\infty) funkcja jest rosnąca Dla a \in (0; 1) funkcja jest malejąca [edytuj] Rozwiązywanie równań wykładniczych Przykładami równań wykładniczych mogą być: 3x = 27 \left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2} 2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0 Schemat rozwiązywania równań wygląda tak: Ustalamy dziedzinę. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników. Rozwiązujemy równanie. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie. Podajemy odpowiedź. Przykład 1 Chcemy rozwiązać równanie \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3} , możemy to zrobić w ten sposób: Ustalamy dziedzinę: \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb{R} Sprowadzamy do tej samej podstawy: \begin{align} (4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}&=(4^2)^{x+3}\\ 4^{-\frac{1}{2}x+1}&=4^{2x+6} \end{align} Z równości potęg wynika równość wykładników: \begin{align} -\frac{1}{2}x+1&=2x+6\\ -2\frac{1}{2}x&=5\quad\Big/:(-2\frac{1}{2})\\ x&=-2,~\in D \end{align} Zatem rozwiązaniem równania jest -2. Możemy sprawdzić rozwiązanie: L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}= \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16 P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 \ Zatem L=P \ Przykład 2 Jeśli chcemy rozwiązać równanie 2^x+2^{7-x}=24 \!, możemy to zrobić w ten sposób: Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie: 2^x+2^{7-x}=24 ,~D=\mathbb{R} 2^x+\frac{2^7}{2^x}=24 Podstawiamy 2^x=t, t \in \mathbb{R}_+ t+\frac{128}{t}=24 / \sdot t t^2-24t+128=0 \ Otrzymujemy: t_1=8=2^3,~\in \mathbb{R}_+ t_2=16=2^4,~\in \mathbb{R}_+ Ponieważ 2^x=t \ : 2^x=t_1\ lub 2^x=t_2\ 2^x=2^3\ lub 2^x=2^4\ x=3\ lub x=4\ Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania. [edytuj] Rozwiązywanie nierówności wykładniczych Przykładami nierówności wykładniczych są: 2^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x\frac{1}{2}} 3^{x^2-2}<3\sqrt{3} \left(\frac{1}{9}\right)^x>3^{4-\frac{1}{2}x} W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy: Ustalić dziedzinę Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie: dla a \in (1;+\infty) a^n>a^m \iff n>m a^na^m \iff nm analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy” W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny. Rozwiązujemy otrzymane równanie. Udzielamy odpowiedzi. Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie 2^{2x-1} \geq 2^{3-x} , możemy je przekształcić na równanie 2x-1 > 3-x\ , ponieważ a=2 \in (1;+\infty) . Natomiast \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} \iff 2x-1 < 3-x, ponieważ a=\frac{1}{2} \in (0;1) . Przykład 1 Chcemy rozwiązać nierówność \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} . W tym celu: Ustalamy dziedzinę: \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=\mathbb{R} \backslash \{-1\} Sprowadzamy do tych samych podstaw: \left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} Ponieważ a=\frac{1}{2} , wykorzystujemy prawo a^n>a^m \iff n 0 i a \neq 1 i b > 0 a jest podstawą logarytmu b jest liczbą logarytmowaną c jest wartością logarytmu Własności logarytmu: a^{\log_a b} = b loga1 = 0 logaa = 1 loga(mn) = logam + logan \log_a{m \over n} = \log_a m - log_a n loganb = blogan \log_a b = \frac{ \log_c b}{ \log_c a } a > 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b > c a < 1 \and \log_a b > \log_a c \iff b < c warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą Przykłady log10100 = 2 log1010000 = 4 100 < 1000 \quad 2 < 4 log0.10.01 = 2 log0.10.0001 = 4 0.01 > 0.001 \quad 2 < 4 log100.1 = − 1 log100.01 = − 2 0.1 > 0.01 \quad -1 > -2 [edytuj] Logarytm naturalny i dziesiętny W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, e oraz 10, stąd zapis: log10a = loga - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny) logea = lna - logarytm naturalny (którego podstawa e = \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = 2.71828... ) log2a = lga Uwaga! Uwaga! Oznaczenia log, lg oraz ln mogą mieć inne niż powyższe znaczenie w literaturze obcojęzycznej, programach komputerowych i językach programowania! [edytuj] Przybliżenia W obliczeniach chemicznych często przybliża się: \log_{10} 2 \approx 0.3 [edytuj] Funkcja logarytmiczna Definicja DEFINICJA Funkcję f(x) = logax, gdzie a > 0, a \neq 1 i x > 0 nazywamy funkcją logarytmiczną. Ponadto funkcja logarytmiczna przesunięta o wektor \vec{v} = [p; q] , także jest funkcją logarytmiczną. Funkcja ta będzie wówczas postaci f(x) = loga(x − p) + q. Przykłady funkcji logarytmicznej: f(x) = log0,5x g(x) = log3(x + 2) h(x) = log(x − 5) + 20 i(x) = log0,2x − 2 Wykres y=log2(x), y=log3(x).png Najważniejsze własności funkcji y = logax dla a \in (1;+\infty) : x \in \mathbb{R}_+ y \in \mathbb{R} funkcja jest rosnąca funkcja jest różnowartościowa Wykres y=log2^-1(x), y=log3^-1(x).png Najważniejsze własności funkcji y = logax dla a \in (0;1) : x \in \mathbb{R}_+ y \in \mathbb{R} funkcja jest malejąca funkcja jest różnowartościowa [edytuj] Rozwiązywanie równań logarytmicznych Definicja DEFINICJA Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są: log4x = − 2 logx + 327 = − 2 \log_{\frac{1}{2}} 3-x = 1 Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się: Ustalić dziedzinę Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów: \log_n b=x \iff b=n^x np. \log_{\frac{1}{2}} (3-x) = 2 \iff 3-x=\left(\frac{1}{2}\right)^2 Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. \log_3 (x+3)=\log_3 (x^2+1) \iff x+3=x^2+1 , ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa. Podać odpowiedź. Przykład 1 Rozwiążmy równanie log2x = 5. Ustalamy dziedzinę: x \in \mathbb{R}_+ Własność \log_n b=x \iff b=n^x sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy \log_2 x = 5 \iff x = 2^5 = 32 Odp. x = 32 Przykład 2 Chcemy rozwiązać równanie \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 . Możemy to zrobić w ten sposób: Ustalamy dziedzinę: 4-\frac{1}{5}x>0 \iff -\frac{1}{5}x>-4 \iff x<20 Zatem mamy równanie \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2,~D=(-\infty;20) Z własności \log_n b=x \iff b=n^x i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy: \log_3(4-\frac{1}{5}x)=2 \iff 4-\frac{1}{5}x=3^2 -\frac{1}{5}x=5 x=-25,~\in D Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25. Przykład 3 Rozwiążemy równanie log5x2 = 3. Ustalamy dziedzinę: Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że x^2 > 0 \iff x \neq 0 . Zatem D = \mathbb{R} \backslash \{0\} . \log_5 {x^2} = 3 \iff x^2 = 5^3 = 125 I znajdujemy pierwiastki równania: x2 − 125 = 0 (x - 5\sqrt{5})(x + 5\sqrt{5}) = 0 czyli x_1 = 5\sqrt{5} \in D i x_2 = -5\sqrt{5} \in D Odp. x \in \{-5\sqrt{5}; 5\sqrt{5}\} Przykład 4 Rozwiążmy równanie \log^2_2 x - 10 \log_2 x +16 = 0 . (Pamiętamy, że \log^2_2 x = (\log_2 x)^2 , a nie log2(x2).) Ustalamy dziedzinę: D = \mathbb{R}_+ Podstawiamy zmienną pomocniczą t = log2x do równania \log^2_2 x - 10 \log_2 x + 16 i otrzymujemy: t2 − 10t + 16 \Delta = 10^2 - 4 \cdot 16 = 36 , \sqrt{\Delta} = 6 . t_1 = \frac{10-6}{2} = 2 , t_2 = \frac{10+6}{2} = 8 Ponieważ t = log2x, więc: log2x = t1 = 2 x = 2^2 = 4 \in D lub log2x = t2 = 8 x = 2^8 = 256 \in D Odp. x \in \{4;256\} Przykład 5 Spróbujmy rozwiązać równanie log2x − log4x = 3. Ustalamy dziedzinę: D = \mathbb{R}_+ Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} . log4x możemy zapisać jako \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} . Zatem nasze równanie przybierze postać: \log_2 x - \frac{\log_2 x}{2} = 3 \frac{\log_2 x}{2} = 3 Obustronnie mnożymy przez 2: log2x = 6 x = 26 = 64 Odp. x = 64 Przykład 6 Rozwiążmy równanie 2\log_3 (x-3) - \log_\frac{1}{9} (x-3) = 5 Ustalamy dziedzinę: D = (3; +\infty) Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując: 2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{\log_3 \frac{1}{9}} = 5 2\log_3 (x-3) - \frac{\log_3 (x-3)}{-2} = 5 \frac{5}{2}\log_3 (x-3) = 5 Teraz obustronnie dzielimy przez \frac{5}{2} i mamy: log3(x − 3) = 2 x-3 = 3^2 = 9 \implies x = 12 Odp. x = 12 Przykład 7 Rozwiążmy równanie 2logx − 33 = 2. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów (0;1) \cup (1;+\infty): x-3 \in (0;1) \cup (1;+\infty) czyli D = (3;4) \cup (4;+\infty) Skorzystamy z własności klogax = logaxk: 2\log_{x-3} 3 = 2 \iff \log_{x-3} 3^2 = 2 zatem logx − 39 = 2 Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe: 9 = (x − 3)2 9 = x2 − 6x + 9 x(x − 6) = 0 Otrzymujemy: x_1 = 0 \not\in D i x_2 = 6 \in D Odp. x = 6 [edytuj] Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych Definicja DEFINICJA Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są: logx > 5 \log_2 (x^2+1) \leq 3 logx + 14 = 4 Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału (0;1), dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w (1;+\infty) zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach. Przykład 1 Rozwiążmy nierówność log3x > 4. Ustalamy dziedzinę: x \in \mathbb{R}_+ Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem: \log_3 x >4 \iff x > 3^4 x > 81 Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli: (x \in (81;+\infty) \and x \in (0;+\infty)) \iff x \in (81;+\infty) Odp. x \in (81;+\infty) Przykład 2 Rozwiążmy nierówność log0,5(x2) < 4 Ustalamy dziedzinę: x^2 > 0 \iff x \neq 0 , czyli: D = \mathbb{R} \backslash \{0\} Podstawa logarytmu (czyli 0,5)zawiera się w przedziale (0;1), więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny: \log_{0{,}5} (x^2) < 4 \iff x^2 > (0{,}5)^4 i otrzymujemy, że: x^2 - (0{,}5)^4 > 0 \iff x^2 - (0{,}25)^2 > 0 \iff (x - 0{,}25)(x + 0{,}25) > 0 czyli x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty) Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli: x \in ((-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)) \cap (\mathbb{R} \backslash \{0\}) \iff x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty) Odp. x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty) Przykład 3 Zajmijmy się teraz taką nierównością \log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4 : D = R \backslash \{0\} \log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4 \iff x^2 \geq \left(\frac{1}{3}\right)^4 , ponieważ podstawa jest mniejsza od 1 x^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^4 \geq 0 \left(x - \frac{1}{9}\right)\left(x + \frac{1}{9}\right) \geq 0 Czyli x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right) Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right) Odp. x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right) Przykład 4 Rozwiążmy nierówność log3x − 316 < 2: Ustalamy dziedzinę: Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru (0;1) \cup (1;+\infty), więc będzie także w tym przypadku. Mamy: (3x-3) \in (0;1) \cup (1;+\infty) czyli D = \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{3};+\infty\right) Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) i gdy x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right) , ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie. dla x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 > (3x-3)^2 \iff (3x-3)^2-16 < 0 , tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia: (3x-3-4)(3x-3+4) < 0 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) < 0 czyli x \in \left(-\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right) , a także x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) (z założenia) czyli x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) dla x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right) \log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 < (3x-3)^2 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) > 0 czyli x \in \left(-\infty;-\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right) i x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right) czyli x \in \left(\frac{7}{3}; +\infty\right) Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right) Odp. x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)$

Answer

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Napisz list do kolegi w którym opiszesz swoja rodzinę

1.wyjasnij co twoim zdaniem moze stac sie jesli ludzie ni eprzestana zasmiecac przyrody. 2co mozesz powiedziec o sobie,ktura ma kompleksy z powodu swojego wygladu. ZADANIE NA JUTRO!!

Oblicz objetosc piramidy cheopsa zkorzystaj z ciekawostki CIEKAWOSTKA Piramida cheopsa, zwana wielką piramidą jest największą na swiecie budowlą w ksztalcie ostrosłupa.Ma 137 metrów wyskokości, a krawędz jej podstawy ma 230metrów

Ułuż kilkuzdaniowy opis życia i pracy mieszkańców pustyni.Wykorzystaj zamieszczone niżej wyrazy, stosując je w odpowiedniej formie. WYRAZY:Beduin, oaza, koczownik, pasterstwo, woda, wielbłąd, handel, ropa naftowa, rzemiosło, rolnictwo, polana daktylowa, transport.

Za pomocą 5 argumentów udowodnij, że wynalazki o odkrycia naukowe przyczyniły się do poprawy warunków życia ludzi na przełomie XIX i XX wieku

OBLICZ: A) (-7)* 1⁴₅-(-48,6) C) liczba przeciwna do iloczynu liczb -27 i 3 D) 36:(-3)*(-7-5) F) podwójna suma liczb 16¹₆ i -4²₃ G) iloczyn liczb -7 i -3 zmniejszony o 10

Pn Wt Śr Czw Pt Sob Nd dzień -3C -7C -5C -4C 0C 2C 3C w nocy -6C -15C -11C -5C -2C 0C 1C Oblicz średnią temperaturę a) w Środę b) w nocy w parzyste dni c) w dzień w nieparzyste dni. NP -3*C oznacza to -3 stopni celciusza

Sprzedany na aukcji w 1989 roku znaczek pocztowy osiągnoł rekordową cenę 1,1mln dolarów amerykańskich.Znaczek miał wymiary 2,8cm × 2,3cm.Ile kosztował każdy milimetr kwadratowy tego znaczka? Wynik zaogrąklij do 1 centa (0,01 dolara)>

Jaką cześć działki zajmują rabaty kwiatowe? a ¹₅ b ¹₄ c ³₄ d ⁴₅ Podaj prawidłową odpowiedż i obliczenia

W sklepie sportowym obniżono ceny o ¹₅.Ile będą kosztowały po obniżce narty a ile buty,jeśli przed obniżką za narty trzeba było zapłacić 550zł,a za buty 300 zł?Proszę o obliczenia.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social

Napisz list do kolegi w którym opiszesz swoja rodzinę

1.wyjasnij co twoim zdaniem moze stac sie jesli ludzie ni eprzestana zasmiecac przyrody. 2co mozesz powiedziec o sobie,ktura ma kompleksy z powodu swojego wygladu. ZADANIE NA JUTRO!!

Oblicz objetosc piramidy cheopsa zkorzystaj z ciekawostki CIEKAWOSTKA Piramida cheopsa, zwana wielką piramidą jest największą na swiecie budowlą w ksztalcie ostrosłupa.Ma 137 metrów wyskokości, a krawędz jej podstawy ma 230metrów

Ułuż kilkuzdaniowy opis życia i pracy mieszkańców pustyni.Wykorzystaj zamieszczone niżej wyrazy, stosując je w odpowiedniej formie. WYRAZY:Beduin, oaza, koczownik, pasterstwo, woda, wielbłąd, handel, ropa naftowa, rzemiosło, rolnictwo, polana daktylowa, transport.

Za pomocą 5 argumentów udowodnij, że wynalazki o odkrycia naukowe przyczyniły się do poprawy warunków życia ludzi na przełomie XIX i XX wieku

OBLICZ: A) (-7)* 1⁴₅-(-48,6) C) liczba przeciwna do iloczynu liczb -27 i 3 D) 36:(-3)*(-7-5) F) podwójna suma liczb 16¹₆ i -4²₃ G) iloczyn liczb -7 i -3 zmniejszony o 10

Pn Wt Śr Czw Pt Sob Nd dzień -3*C -7*C -5*C -4*C 0*C 2*C 3*C w nocy -6*C -15*C -11*C -5*C -2*C 0*C 1*C Oblicz średnią temperaturę a) w Środę b) w nocy w parzyste dni c) w dzień w nieparzyste dni. NP -3*C oznacza to -3 stopni celciusza

Sprzedany na aukcji w 1989 roku znaczek pocztowy osiągnoł rekordową cenę 1,1mln dolarów amerykańskich.Znaczek miał wymiary 2,8cm × 2,3cm.Ile kosztował każdy milimetr kwadratowy tego znaczka? Wynik zaogrąklij do 1 centa (0,01 dolara)>

Jaką cześć działki zajmują rabaty kwiatowe? a ¹₅ b ¹₄ c ³₄ d ⁴₅ Podaj prawidłową odpowiedż i obliczenia

W sklepie sportowym obniżono ceny o ¹₅.Ile będą kosztowały po obniżce narty a ile buty,jeśli przed obniżką za narty trzeba było zapłacić 550zł,a za buty 300 zł?Proszę o obliczenia.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social

Pn Wt Śr Czw Pt Sob Nd dzień -3C -7C -5C -4C 0C 2C 3C w nocy -6C -15C -11C -5C -2C 0C 1C Oblicz średnią temperaturę a) w Środę b) w nocy w parzyste dni c) w dzień w nieparzyste dni. NP -3*C oznacza to -3 stopni celciusza