Question

Zapis 50! oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do 50 tzn. 50! = 1 x 2 x 3 x 4 x .... x 49 x 50 . ile zer otrzymamy na koncu po wykonaniu tego dzialania?

x = razy, w sensie że mnożenie

Answer 1

Z cechy podzielności przez  wiemy, że liczba ma na końcu  wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez . Można tę cechę uogólnić i otrzymać cechy podzielności przez  i tak dalej. Innymi słowy, liczba  ma  zer na końcu wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez . 

Zatem wystarczy znaleźć najwyższą potęgę liczby , która dzieli . Z kolei liczba jest podzielna przez  wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez  i przez . Więc wystarczy ustalić, ile dwójek i ile piątek ma w rozkładzie na czynniki pierwsze liczba .

Oczywiście co druga liczba z iloczynu  ma w rozkładzie na czynniki pierwsze dwójkę. I analogicznie co piąta ma piątkę. Nas interesują pary dwójek i piątek, więc wystarczy, że policzymy, ile piątek w rozkładzie na czynniki pierwsze ma  - bo do każdej piątki dobierzemy dwójkę, gdyż dwójek jest więcej.

A skoro co piąta liczba z tego iloczynu jest podzielna przez , to naturalnie mamy już  piątek w rozkładzie na czynniki pierwsze. Ale, co więcej, co dwudziesta piąta liczba ma w rozkładzie na czynniki pierwsze dwie piątki - zatem musimy doliczyć jeszcze te, których nie zliczyliśmy w pierwszym kroku. W naszym przypadku są dwie takie liczby w iloczynie: oraz .

Zatem liczba  w rozkładzie na czynniki pierwsze ma . Do każdej piątki dobierzemy dwójkę - tak otrzymamy dziesiątkę.
Więc stąd wynika, że liczba  ma  zer na końcu.