Question

Zakładając że promień Ziemi wynosi R, zaś odległość od środka Ziemi do środka Księżyca wynosi 60R, oblicz w jakiej odległości od środka Ziemi wzdłuż prostej łączącej ją z Księżycem wypadkowa siła grawitacji wynosi zero. Przyjmujemy że Mz=81*Mk


Proszę o pomoc:)

Answer 1

Oznaczenia przyjęte w zadaniu

M - masa Ziemi

m - masa księżyca

m₀ - masa ciała

Odległość 384 tys km jest równa około 60 promieni Ziemi

m = 1/81  M

R - promień Ziemi

Szuk: r

Rozw.:

 

GMm₀/r²  = Gmm₀/(60R - r)²

dzielimy obustronnie  przez G i m₀

M/r²  = m/(60R - r)²

M/r²  = (1/81)   M /(60R - r)²

ostatecznie

r²  = 81 (60R - r)²

r² = 291600 R² - 9720Rr +81r²

81r² - r²  - 9720Rr + 291600 R² = 0

80r² - 9720Rr + 291600 R² = 0

Jest to równanie drugiego stopnia więc żeby je policzyć musimy wyznaczyć Δ i pierwiastki r₁ i r₂ (patrz matematyka - wzory!)

czyli

Δ = (9720R)² - 4 × 80 × 291600 R² = 1166400R²

√Δ = 1080R

r₁ = (9720R - 1080R) / 160 = 54 R

r₂ = (9720R + 1080R) / 160 = 67,5 R

r₂ nie spełnia warunków zadania, więc odpowiedzią do zadania jest r₁

Odp: w odległości 54 R od środka Ziemi pomiędzy Ziemią a Księżycem znajduje się punkt, w którym siły grawitacyjne pochodzące od Ziemi i Księżyca znoszą się wzajemnie.