Zadanie z planimetrii:Wykaż, że jeśli w trójkącie o kątach zachodzi związek , to trójkąt ten jest r.... Question from @buttonik

October 2018 1 80 Report

Zadanie z planimetrii:

Wykaż, że jeśli w trójkącie o kątach $\alpha, \beta,\gamma$ zachodzi związek $\frac{sin\alpha}{2sin\beta}=cos\gamma$ , to trójkąt ten jest równoramienny.

LiberAbaci

Jezeli pozwolisz, to zamiast alfa, beta, gamma, użyję x,y,z - coby nie używać edytora wzorów...

najpierw trochę tożsamości trygonometrycznych:

sin(x+y)= sin x * cos y + cos x * sin y

sin(x-y)= sin x * cos y - cos x * sin y

Dowód powyższych tożsamości można przeprowadzić korzystając ze wzoru Eulera. Są one jednak na tyle znane, że chyba dowód nie jest tu potrzebny.

Zsumujmy stronami powyższe dwie równości, otrzymamy:

sin(x+y)+sin(x-y) = 2*sin x * cos y (nazwijmy ten wzór jako wzór na iloczyn w postaci sumy)

Teraz wróćmy do Twojego równania:

$\frac{sin\alpha}{cos\gamma}=2*sin\beta$

Dla łatwości pisania bez konieczności użycia edytora wzorów, oraz aby łatwo użyć wzoru na iloczyn w postaci sumy, podstawmy:

z - alfa, x - beta, y - gamma

Otrzymamy zatem równość:

sin z / cos y = 2*sin x

zatem (mnożąc obydwie strony równania przez cos y):

sin z = 2*sin x * cos y

teraz możemy skorzystać ze wzoru na iloczyn w postaci sumy, który zaprezentowałem na początku:

sin z = 2*sin x * cos y = sin(x+y)+sin(x-y)

ponieważ x,y,z to z założenia kąty w trójkącie, zatem x+y+z= $180^o$ , zatem x+y= $180^o$ -z

stąd

sin z = sin(x+y)+sin(x-y) = sin( $180^o$ -z)+sin(x-y) = sin z + sin(x-y)

skoro sin z = sin z + sin(x-y) zatem

sin(x-y)=0

Ponieważ x i y to kąty w trójkącie, zatem każdy z nich jest większy od $0^o$ i mniejszy od $180^o$ , zatem ich różnica musi być większa od $-180^o$ i mniejsza od $180^o$ - w dziedzinie (- $180^o$ , $180^o$ ) funkcja sin x ma tylko jedno miejsce zerowe dla x=0 )

Z powyższych rozważań wynika, że skoro sin(x-y)=0, więc x-y=0, czyli x=y, a zatem trójkąt nasz ma dwa kąty równe, a zatem jest trójkątem równoramiennych. cbdo.

Pozdro....