Question

ZADANIE Z MATURY PRÓBNEJ 2013!

Prosiłbym o jak najszybsze rozwiązanie.

Zad. 2 Dany jest wielomian . Wyznacz liczby m i n, jeśli wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x+2) jest równa 4 i jednym z pierwiastków jest liczba (-1). Wykaż, że ten wielomian ma dwa różne pierwiastki.

Byłbym wdzięczny jeśli by mi ktoś to oczywiście rozpisał jak robi itp. bo sam wynik mnie nie satysfakcjonuję ;-)

Answer 1

jeżeli reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x+2) jest równa 4  to 

W( - 2 ) = 4

jeżeli pierwiastkiem wielomianu W(x) jest liczba   -1  to

W( - 1) = 0

podstawiamy do wielomianu w miejsce x liczbę  -2 , a potem -1 i rozwiązujemy uklad równań z niewiadomymi m,n

 

2·( -2 )³ + n · (-2)² + m · (-2) + 8 = 4

2 · (-1)³ + n · (-1)² + m · (-1) + 8 =0

 

- 16 + 4n - 2m + 8 = 4

- 2 + n - m + 8 = 0

 

4n - 2m = 12 / : (-2)

  n - m  = - 6

 

 -2n + m = - 6

    n - m = - 6       dodajemy te równnia stronami

-------------------

   - n =  - 12

     n = 12

 

12 - m = -6

   - m = -6 - 12

   - m = - 18

     m  = 18

 

W(x) = 2x³ + 12x² + 18x + 8  

 

dzielimy wielomian  W(x) przez (x+1)

 

( 2x³ + 12x² + 18x + 8 ) : (x + 1) = ( 2x² + 10x + 8 )

 

W(x) = ( x+ 1) ( 2x² + 10x + 8 )

                        Δ = 100 - 4·2·8 =36   √Δ=6

                        x₁ =( -10 - 6) : 4 = - 4

                        x₂ =( -10 + 6) : 4 = - 1

W(x) = (x+1) (x+1)(x+4)

wielomian ma dawa różne pierwiastki    -1  i  - 4