Question

Zadanie w załączniku

Answer 1

Zauważmy że dla x=0: -26p(0)=0 czyli p(0)=0;
Gdy podstawimy x=1 to otrzymamy -25p(1)=p(0)=0 czyli p(1)=0;
Gdy x=2 to bd: -24p(2)=2p(1)=0 czyli p(2)=0;
Analogicznie dla x∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25} p(x)=0;
Czyli sądze że mój wielomian p(x) jest postaci: p(x)=Cx(x-1)(x-2)(x-3)...(x-25) gdzie C jest rzeczywiste (pierwiastki musza wysteppowac raz gdyz w przeciwnym wypadku rownanie jest niespelnione). Jeżeli podstawimy to do równania to wyjdzie Ci, że ten wielomian spełnia równanie. Więc przyjmijmy że jakieś a,b,c.. rzeczywiste też jest miejscem zerowym tego wielomianu wtedy otrzymamy, że:
 Cx(x-1)(x-2)...(x-25)(x-26)(x-a)(x-b)(x-c)...=Cx(x-1)(x-2)...(x-25)(x-26)(x-a-1)(x-b-1)(x-c-1)... a ponieważ x są rzeczywiste więc to równanie powinno zachodzi także dla x>26 a wtedy po skróceniu nawiasów (wtedy żaden z nich nie jest równy 0) oraz przyjeciu że C≠0 otrzymuję sprzeczność. Pozostaje sprawdzić tylko jeszcze przypadek z C=0 i dostajemy że jedynymi wielomianami spełniającymi to równanie są wielomiany postaci p(x)=Cx(x-1)(x-2)...(x-25).