Question

Zadanie w załączniku.

Answer 1

Przypadek 1:
f(a1) > a1

a2 = f(a1) > a1  -> baza indukcyjna
załóżmy, że an > a(n-1)
a(n+1) = f(an) > f(an-1) = an, zatem z prawdziwości an>a(n-1) wykazaliśmy poprawność a(n+1)>an
zatem an jest rosnący

przypadek 2
f(a1) < a1

a2 = f(a1) < a1  -> baza indukcyjna
załóżmy, że an < a(n-1)
a(n+1) = f(an) < f(an-1) = an, zatem z prawdziwości an<a(n-1) wykazaliśmy poprawność a(n+1)<an
zatem an jest malejący

jest jeszcze opcja, że f(a1) = a1, ale wtedy ciąg an jest po prostu stały (a więc też monotoniczny)