Question

Zadanie w załączniku (z wyjaśnieniem).

Answer 1

a) Jest to zbiór mocy alef zero

Wykażemy, że  skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest przeliczalnie wiele.
Można to udowodnić następująco:
Niech  (gdzie  i  oznaczają dowolne liczby naturalne)
oznacza zbiór wszystkich -elementowych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, których suma równa jest 
Każdy ze zbiorów   jest oczywiście zbiorem skończonym (wiele z nich to zbiory puste), są to zbiory parami rozłączne. 
Dla każdego niepustego zboru spełniony jest warunek  
oraz ich suma mnogościowa jest całym zbiorem wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, 
którego elementy można teraz ustawić w ciąg na przykład ustawiając po kolei wszystkie elementy zbiorów:
 









i tak dalej

b) Jest to zbiór mocy continuum 

Teraz rano widzę, że chyba najprościej jest uzasadnić, że wszystkich podzbiorów jest nieprzeliczalnie wiele; następnie wykorzystamy fakt (z a)), że skończonych jest przeliczalnie wiele, dlatego pozostałych, czyli przeliczalnych jest nieprzeliczalnie wiele. 

Modyfikuję (upraszczam) poprzedni (wpisany wcześniej) pomysł

Dowód:

Na początek każdy z podzbiorów zbioru liczb naturalnych można utożsamić z nieskończonym ciągiem zer i jedynek (indeksowanym od 0),
ustalając w ciągu na  n-tym miejscu liczbę  1,  jeśli  należy do danego zbioru, a 0 w przeciwnym.

Na przykład:
 - zbiór liczb parzystych opisany jest ciągiem (1,0,1,0,1,0,...)
 - zbiór liczb, które przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 opisany jest ciągiem:
(0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,...)

Nie jest to zbiór przeliczalny

Dowód nie wprost polega na wykazaniu, że jakkolwiek powyższe ciągi ustawialibyśmy w ciąg, to zbudujemy też taki ciąg zer i jedynek (czyli też taki odpowiadający mu podzbiór zbioru N), który został pominięty.

(jest to dowód analogiczny do znanego dowodu nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych) 

Trzeba w tym celu w kolejnych krokach ustalać wyrazy różniące nowy ciąg od n-tego dokładnie na n-tym miejscu, zamieniając zero na jedynkę lub jedynkę na zero 

c) Zbiorów tych jest continuum, ponieważ:
 - już samych jednoelementowych podzbiorów jest tyle samo co liczb rzeczywistych
 - podobnie dla dowolnego  n zbiorów n-elementowych jest continuum 
 - suma mnogościowa przeliczalnie wielu zbiorów mocy continuum jest mocy continuum

d) Chyba na pewno continuum, ale już teraz tego nie uzasadnię...