Question

Zadanie w załączniku. Proszę o jak najszybsze rozwiązanie. Z góry thx.

Answer 1

Wystarczy podnieść wielomian P do kwadratu na początek:

 

 

Pogrupujmy wyrazy:

 

 

Teraz mamy warunek, że:

 

,

 

gdzie

 

 

Aby tak było musimy porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach. Przy czwartej potędze współczynniki są takie same, wiec jest ok. Teraz kolejno coraz niższe potęgi:

 

 

Doprowadźmy kazde równanie do najprostszej postaci:

 

 

Mamy dwie zmienne a, b i aż 4 równania, więc mamy więcej niż trzeba. Wybieramy zatem tylko dwa z nich. Te najprostsze:

 

 

Pomnóżmy pierwsze równanie obustronnie przez b:

 

 

i podstawmy teraz drugie:

 

 

Czyli b = 2 lub b = -2

 

Teraz uwzględnijmy drugie równanie:

 

 

Aby obliczyć a:

 

dla b = 2

 

a = -1

 

dla b = -2

 

a = 1

 

Mamy więc dwa rozwiązania:

 

a = -1

b = 2

 

albo

 

a = 1

b = -2

 

Nie wiemy czy te rozwiązania spełniają pozostałe równania i trzeba to sprawdzić. Podstawiamy po kolei.

 

 

Rozwiązanie a = -1, b = 2:

 

- czyli rozwiązanie pierwsze jest spełnione :)

 

Rozwiązanie a = 1, b = -2:

 

- równanie nie jest spełnione, czyli to rozwiązanie odpada.

 

Zostało nam więc tylko jedno rozwiązanie:

 

a = -1

b = 2

 

Musimy się upewnić, czy spełnia ostatnie równanie:

 

 

 

- czyli równanie nie jest spełnione

 

Okazuje się, że nie istnieje taka para liczb a i b, dla których wszystkie 4 równania są spełnione.

 

Wniosek z tego taki, że rozwiązanie nie istnieje. Sprawdziłem kilka razy niedowierzając, ale na to wychodzi, że rozwiązania nie ma. Zbiorem takich par (a,b), które spełniają warunki zadania jest zbiór pusty. Znaczy to, że albo zadanie było podchwytliwe, albo jest w zadaniu błąd, albo się pomyliłem, ale co do tego ostatniego to raczej mało prawdopodobne, bo tak jak mówiłem sprawdziłem uważnie całe rozwiązanie.