Question

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WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA W NIERÓWNOŚCIACH

Answer 1

a)

1°  x∈(-∞, -4)  

x<¹/₃  ⇒  |3x - 1| = -3x + 1

x<-4  ⇒  |2x+8| = -2x - 8

Czyli:

             

2°  x∈<-4, ¹/₃)          

x<¹/₃  ⇒  |3x - 1| = -3x + 1

x≥-4  ⇒  |2x+8| = -2x - 8

Czyli:

           

3°  x∈<¹/₃, ∞)          

x≥¹/₃  ⇒  |3x - 1| = 3x - 1

x≥-4  ⇒  |2x+8| = 2x + 8

Czyli:

           

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań w poszczególnych przedziałach:

                             

b)

   |2x - 4| + |x + 3| = 14

Z def.  

Czyli rozpatrujemy 3 przypadki:

1°  x∈(-∞, -3),    2°  x∈<-3, 2),    3° x∈<2, ∞)

1°  x∈(-∞, -3)

x < 2   ⇒   |2x - 4| = -2x + 4  

x < -3  ⇒   |x + 3| = -x - 3

czyli:

         |2x - 4| + |x + 3| = 14

         -2x + 4 - x - 3 = 14

              -3x + 1 = 14

              -3x = 13      /:(-3)

                x = -¹³/₃

                x = -4¹/₃    ∧    x∈(-∞, -3)

                x = -4¹/₃

2°     x∈<-3, 2)

x<2   ⇒   |2x - 4| = -2x + 4  

x≥-3  ⇒   |x + 3| = x + 3

czyli:

          |2x - 4| + |x + 3| = 14

         -2x + 4 + x + 3 = 14

              -x + 7 = 14

                -x = 7      /:(-1)

                x = -7

                x = -7    ∧    x∈<-3, 2)

                x ∈ ∅

3°     x∈<2, ∞)

x≥2   ⇒   |2x - 4| = 2x - 4  

x≥-3  ⇒   |x + 3| = x + 3

czyli:

          |2x - 4| + |x + 3| = 14

          2x - 4 + x + 3 = 14

              3x - 1 = 14

                3x = 15      /:3

                x = 5

                x = 5    ∧     x∈<2, ∞)

                x = 5

Czyli ostatecznie:

                       x∈{-4¹/₃, 5}