Zadanie polega na obliczeniu granic ciągów treść i przykłady w załącznikuProszę o jak najszybsze roz.... Question from @ogave

September 2018 1 59 Report

Zadanie polega na obliczeniu granic ciągów treść i przykłady w załączniku

Proszę o jak najszybsze rozwiązanie.

przykład 1

$lim_{n \rightarrow \infty} \ (1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)) = lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{1 + 2n - 1}{2}*n\right) = lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{2n}{2}*n\right) = lim_{n \rightarrow \infty} \ (n^2) = +\infty$

przykład 2

$lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{4^{n - 1} - 5}{2^{2n} - 7}\right) = lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{4^{n - 1} - 5}{4^{n} - 7}\right) = lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{\frac{1}{4}4^{n} - 5}{4^{n} - 7}\right) = lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{4^n\left(\frac{1}{4} - \frac{5}{4^n}\right)}{4^{n}\left(1 - \frac{7}{4^n}\right)}\right) = lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{4^n}}{1 - \frac{7}{4^n}}\right) = \frac{\frac{1}{4} - 0}{1 - 0} = \frac{1}{4}$

przykład 3

$lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac{5*3^{2n} - 1}{4*9^n+7} = lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac{5*9^{n} - 1}{4*9^n+7} = lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac{9^n\left(5 - \frac{1}{9^{n}}\right)}{9^n\left(4+\frac{7}{9^{n}}\right)} = lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac{5 - \frac{1}{9^{n}}}{4+\frac{7}{9^{n}}} = \frac{5 - 0}{4 + 0} = \frac{5}{4}$

przykład 4

$lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac{2^{n + 1} - 3^{n + 2}}{3^{n + 2}}= lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac{3^{n + 2}\left(\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 2}} - 1\right)}{3^{n + 2}}= lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 2}} - 1\right)= lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{2}{9}*\left(\frac{2}{3}\right)^n - 1\right) = 0 - 1 =- 1$

przykład 5

$lim_{n \rightarrow \infty} \ \sqrt[n]{3^n + 2^n} = lim_{n \rightarrow \infty} \ 3\sqrt[n]{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}\\ lim_{n \rightarrow \infty} \ 3\sqrt[n]{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n} \geq lim_{n \rightarrow \infty} \ 3\sqrt[n]{1 + 0^n} = lim_{n \rightarrow \infty} \ 3\sqrt[n]{1} = 3\\ lim_{n \rightarrow \infty} \ 3\sqrt[n]{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n} \leq lim_{n \rightarrow \infty} \ 3\sqrt[n]{1 + 1^n} = lim_{n \rightarrow \infty} \ 3\sqrt[n]{2} = 3*1 = 3\\ lim_{n \rightarrow \infty} \ \sqrt[n]{3^n + 2^n} = 3$

przykład 6

$lim_{n \rightarrow \infty} \ \sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} = lim_{n \rightarrow \infty} \ 7\sqrt[n]{\left(\frac{3}{7}\right)^n + \left(\frac{5}{7}\right)^n + 1}\\ lim_{n \rightarrow \infty} \ 7\sqrt[n]{\left(\frac{3}{7}\right)^n + \left(\frac{5}{7}\right)^n + 1} \geq lim_{n \rightarrow \infty} \ 7\sqrt[n]{0^n + 0^n + 1} = lim_{n \rightarrow \infty} \ 7\sqrt[n]{1} = 7\\ lim_{n \rightarrow \infty} \ 7\sqrt[n]{\left(\frac{3}{7}\right)^n + \left(\frac{5}{7}\right)^n + 1} \leq lim_{n \rightarrow \infty} \ 7\sqrt[n]{1^n + 1^n + 1} = lim_{n \rightarrow \infty} \ 7\sqrt[n]{3} = 7*1 = 7\\ lim_{n \rightarrow \infty} \ \sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} = 7$

przykład 7

$lim_{n \rightarrow \infty} \ \sqrt{\left(\frac{2}{9}\right)^n\left(\frac{1}{3}\right)^n\left(\frac{7}{9}\right)^n} = lim_{n \rightarrow \infty} \ \sqrt{\frac{2^n}{9^n}*\frac{1^n}{3^n}*\frac{7^n}{9^n}} = lim_{n \rightarrow \infty} \ \sqrt{\frac{(2*1*7)^n}{(9*9*3)^n}} = lim_{n \rightarrow \infty} \ \sqrt{\frac{(14)^n}{(243)^n}} = lim_{n \rightarrow \infty} \ \left(\frac{14}{243}\right)^{\frac{n}{2}} = 0$