Question

Zadanie 58 i 59 z załącznika. Za rozwiązanie daje tradycyjnie naj .

Answer 1

Zad.58

Wzór na długość okręgu:

W zadaniu r_1=0,5 cm, r_2=0,7 cm itd aż do r_n=2,5 cm.

Mamy tu do czynienia z ciągiem, którego pierwszy wyraz możemy zapisać:

Po podstawieniu za r wartości r_1 otrzymujemy:

Kolejny wyraz ciągu możemy zapisać w następującej postaci:

Jak widać będzie to ciąg arytmetyczny o różnicy (dla rozróżnienia napiszę tu duże R):

Wyliczneie R:

Zatem wiemy już, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym, w którym:

i

Żeby sprawdzić, czy suma długości zadanych okręgów jest większa od 1m, musimy policzyć sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego, gdzie  , czyli 

W tym celu musimy sprawdzić, którym wyrazem ciągu jest , czyli musimy znaleźć n.

Korzystamy z wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

odejmujemy obustronnie \pi

dzielimy obustronnie przez 0,4\pi

n=11

Stąd:

Ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

> 1m

 

Odp.: Suma długości zadanych okręgów jest większa od 1 metra.

 

Zad. 59

a)

Pole pierścienia  wyraża się wzorem:

Aby wykazać, że jest to ciąg arytmetyczny musimy zbadać różnicę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu. Znajdźmy zatem wyraz n+1:

Znajdujemy różnicę:

Stąd:

Wykazaliśmy, że nasz ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 

b)

Obliczamy  i 

Teraz obliczamy  ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: