Question

Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 3,5,7,9,... należy dodać, aby otrzymać liczbę 255. Chciałbym aby to było dokładnie rozpisane jak ktoś do tego doszedł. Daje naj.

Answer 1

Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 3,5,7,9,... należy dodać, aby otrzymać liczbę 255. Chciałbym aby to było dokładnie rozpisane jak ktoś do tego doszedł. Daje naj.

 

3,5,7,9.....  wyrazy ciągu arytmetycnego

a1 = 3

a2 = 5

a3 = 7

. . ..

 

r = a2 - a1  =  a3 - a2  const.

r = 5 -3 = 7 -5 = 2

r = 2   ( różnica ciągu arytmetyvcznego)

 

Obliczam n -ty wyraz ciagu arytmrtycznego

Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego

an = a1 + (n -1)*r

an = 3 + (n-1)*2

an = 3 + 2n -2

an = 1 + 2n

 

Korzystam ze wzoru na sumę n kolejnych wyrazów ciagu arytmetycznego

Sn = ½*(a1 + an) *n

Sn = ½*(3 + 1 +2n)*n

Sn = 255

 

½*(3 + 1 +2n)*n = 255

½(4 + 2n) *n = 255

½*2*(2 +n)*n = 255

        (2 +n)*n = 255

         2n +n² -255 = 0

        n² +2n -255 = 0

a = 1

b = 2

c = -255

Δ = b² - 4*a*c

 

Δ = 2² -4*1*(-255) = 4 + 1020 = 1024

√Δ = Δ1024 = 32

n1=  ( -b -√Δ) : 2*a = (-2 -32) : 2*1 = (-34):2 = (-17)  nie jest rozwiązaniem, bo n musi być liczbą całkowitą dodatnia ( sa to kolejne wyrazy ciągu)

n2 = (-b + √Δ) : 2*a = (-2 +32):2*1 = 30 :2 = 15

 

Odp. n= 15  kolejnych wyrazów ciagu arytmetycznego daje sumę 255

 

 

 

 

 

Answer 2

Suma tego ciągu wynosi 255

a1=3

a2=5

więc różnica r wynosi 2, bo wzór ogólny to an=a1+(n-1)r

 

Wzór na Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego to:

 

naszą niewiadomą jest n

czyli liczba początkowych wyrazów ciągu

 

podstawiamy do wzoru nasze dane:

 

przekształcamy:

510=(4+2n)*n

510=4n+2n², przenosimy 510 na lewą stronę i porządkujemy:

2n²+4n-510=0 dzielimy przez 2

n²+2n-255=0

 

mamy równanie kwadratowe, obliczamy deltę, pamiętając o założeniu, że n>0

 

Δ=b²-4ac=4+1020=1024

pierwiastek z delty to 32

 

n1=(-2-32)/2 jest to wartość ujemna więc sprzeczna z założeniem

 

n2=(-2+32)/2=15

 

odp.należy dodać 15 wyrazów początkowych tego ciągu aby ich suma wyniosła 255.

 

 

Pozdrawiam:) w razie pytań napisz;)