Question

Zadanie 5. Zapisz za pomocą znaku sumy (Sigma)
a) Sumę pierwszych 100 liczb naturalnych nieparzystych.
b) Sumę odwrotności pierwszych 20 liczb naturalnych.

Answer 1

a)

Należy zapisać sumę pierwszych 100 liczb naturalnych nieparzystych. Stąd sumować będziemy od [tex]i=1[/tex] do [tex]i=100[/tex]. Pierwszą z liczb, które będziemy sumować, jest 1. Liczbę naturalną nieparzystą można zapisać w postaci ogólnej jako [tex]2n+1[/tex]. Jest to popularniejszy zapis na tego typu liczbę. Niemniej jednak w zapisie tym dla [tex]n=1[/tex] otrzymujemy 3, a przecież pierwszym składnikiem sumy ma być 1. Dlatego należy użyć mniej popularnego zapisu [tex]2n-1[/tex], bo w tym zapisie dla [tex]n=1[/tex] otrzymujemy 1.

Jednakże można także użyć tej pierwszej postaci liczby naturalnej nieparzystej, lecz w tym przypadku należy sumować od [tex]i=0[/tex] do [tex]i=99[/tex], tak aby pierwszym składnikiem było 1, a wszystkich składników było 100.

[tex]1+3+5+...+195+197+199=\Sigma^{100}_{i=1}(2i-1)[/tex]

lub

[tex]1+3+5+...+195+197+199=\Sigma^{99}_{i=0}(2i+1)[/tex]

b)

Odwrotność liczby [tex]n\neq 0[/tex] można zapisać w postaci [tex]\frac{1}{n}[/tex]. Sumować mamy pierwsze 20 liczb naturalnych, więc należy rozpocząć sumowanie dla [tex]i=1[/tex], a zakończyć je dla [tex]i=20[/tex].

[tex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{18}+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}=\Sigma^{20}_{i=1}\frac{1}{i}[/tex]