Question

Zadanie 1
Znajdź obraz punktu A=(5,-1) w symetrii względem prostej o równaniu:
a). y=2x-1
b). x+y+5=0
Zadanie 2
Punkt P'=(4,5) jest obrazem punktu P w symetrii względem punktu S=(-3,1).
Znajdź współrzędne punktu P.

Proszę o pomoc, oraz o czytelność bym wiedziała co z czego się wzięło.

Answer 1

Zad. 1
Dany punkt: A = (5; - 1)
Obraz punktu A w symetrii względem prostej: A' = (x, y)

a)
prosta l: y = 2x - 1


Obraz punktu A w symetrii osiowej względem prostej l, czyli punkt A’ leży na prostej k prostopadłej do prostej l i przechodzącej  przez punkt A.

Wyznaczamy równanie prostej k: y = ax + b.
- z warunku prostopadłości prostych l i k wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej k:

i otrzymujemy:


- wyznaczamy wyraz wolny b, czyli do wyznaczonego równania prostej k podstawiamy współrzędne punktu A = (5; - 1) i otrzymujemy:


Zatem prosta k ma równanie:


Wyznaczamy współrzędne punktu P = (x; y ) przecięcia się prostych l i k, czyli rozwiązujemy  układ  równań:


Rozwiązujemy II równanie układu:


Rozwiązujemy I równanie układu:


Stąd:


Wyznaczony punkt P = (1; 1) jest środkiem odcinka AA'.   

Wyznaczamy współrzędne punktu A' = (x; y), korzystając ze wzoru na współrzędne środka P odcinka o końcach A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂):


Stąd:


Zatem A' = (- 3; 3)

Obrazem punktu A w symetrii względem prostej o równaniu y = 2x - 1 jest punkt  A' o współrzędnych: A' = (- 3; 3).

b)
prosta l: x + y + 5 = 0 ⇒ y = - x - 5


Wyznaczamy równanie prostej k: y = ax + b.
- wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej k:

zatem:


- wyznaczamy wyraz wolny b:


Zatem prosta k ma równanie:


Wyznaczamy współrzędne punktu P = (x; y ) przecięcia się prostych l i k:


Rozwiązujemy II równanie układu:


Rozwiązujemy I równanie układu:


Stąd:


Wyznaczony punkt jest środkiem odcinka AA'.   

Wyznaczamy współrzędne punktu A' = (x; y):


Zatem A' = (4; 0)

Obrazem punktu A w symetrii względem prostej o równaniu y = x - 5 jest punkt  A' o współrzędnych: A' = (4; 0).  

Zad. 2
Punkt P’ = (4; 5) jest obrazem punktu P = (x; y) w symetrii względem punktu S = (- 3; 1)
 

Obrazem punktu P ≠  S w symetrii środkowej względem punktu S jest punkt P’, wtedy gdy punkt S jest środkiem odcinka PP’.  

Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka S odcinka o końcach A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂):
 

Stąd:
 

Zatem: P = (-10; - 3)  

W symetrii względem punktu S = (- 3; 1) punkt P' = (4; 5) jest obrazem punktu:
P = (-10; - 3).