Zadanie 1.
Dany jest prostokąt o obwodzie 20. Funkcja f przyporządkowuje długości jednego boku długość drugiego boku tego prostokąta.
a) Podaj wzór funkcji f.
b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji f.
Zadanie 2.
Funkcja f przyporządkowuje liczbom naturalnym n dodatnim mniejszym od 9 wartość bezwzględną liczby n – 6.
a) Sporządź tabelkę wartości funkcji.
b) Narysuj wykres funkcji.
c) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
Zadanie 3.
Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = (x+1)3 – (x – 2)3 – 27.
a) Sprowadź wzór tej funkcji do najprostszej postaci.
b) Oblicz f (2Ö5).
c) Wyznacz maksymalny przedział, w którym wartości tej funkcji są ujemne.
Zadanie 4.
Dana jest funkcja f(x) = (1 – 9m2)x2 + (3m – 1) x + 5.
a) Wyznacz wszystkie wartości liczby m, tak aby funkcja f osiągała wartość największą.
b) Wyznacz wszystkie liczby m, tak aby funkcja f była stała.
Zadanie 5.
W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 60o. Dłuższa przyprostokątna jest o 3 krótsza od przeciwprostokątnej. Wyznacz długości boków tego trójkąta.
Zadanie 6.
Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB, CD. Wyznacz sinus, cosinus i tangens kąta CAB, jeśli wiadomo, że ÷AB÷ = 18, ÷CD÷ = 12,÷BC÷ = ÷AD÷ = 6.
Zadanie 7.
Przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym ma długość 20cm. Wyznacz długości przyprostokątnych, jeśli wiadomo, że jeden z kątów ostrych jest 5 razy większy od drugiego kąta ostrego.
Zadanie 8.
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości ÷BC÷ =÷AC÷ = 26. Długość wysokości opuszczonej na podstawę AB jest równa 24. Odcinek AD jest wysokością trójkąta opuszczoną na bok BC. Oblicz cosinus kąta DAB.
z.1
a)
2x + 2y = 20 / : 2
x + y = 10
y = 10 - x
f(x) = y = 10 - x
=================
b)
D = ( 0; 10)
ZW = ( 0; 10)
==================================
z.2
a)
f(n) = I n - 6 I
f(1) = I 1 - 6 I = I -5 I = 5
f(2) = I 2 - 6 I = I - 4 I = 4
f(3) = I 3 - 6 I = 3
f( 4) = I 4 - 6 I = 2
f( 5) = I 5 - 6 I = 1
f(6) = I 6 - 6 I = 0
f(7) = I 7 - 6 I = 1
f( 8 ) = I 8 - 6 I = 2
b)
Wykres składa się z 8 punktów o współrzędnych:
(1;5),(2;4),(3;3),(4;2),(5;1),(6;0),7;1),(8;2)
c)
Miejsce zerowe funkcji to liczba 6, bo f( 6 ) = 0
=======================================
z.3
f(x) = ( x +1)^3 - ( x -3)^3 - 27
a)
f(x) = x^3 + 3 x^2 + 3x + 1 - ( x^3 - 9 x^2 + 27 x - 27 ) - 27
f(x) = 12 x^2 - 24x + 1
======================
b)
f(205) = 12 *205^2 - 24*205 + 1 = 12*42 025 - 4 920 + 1 = 504 300 - 4 919 =
= 499 381
=============
c)
f(x) = 12 x^2 - 24 x + 1
delta = 576 - 4*12*1 = 576 - 48 = 528= 16*33
p (delty) = 4 p(33)
x1 = [ 24 - 4 p(33)]/24 = 1 - p(33)/6
x2 = [ 24 + 4 P(33)]/24 = 1 + P(33)/6
a = 12 > 0 ,
zatem f(x) < 0 dla x takich , że : x1 < x < x2
=======================================================
z.4
f(x) = ( 1 - 9 m^2) x^2 + (3m - 1) x + 5
a)
Aby funkcja osiagała wartość największą musi być
1 - 9 m^2 < 0
(1 - 3m)*(1 + 3m) < 0
zatem m < - 1/3 lub m > 1/3
==============================
b) Aby funkcja była stała musi być
1 - 9 m^2 = 0 i 3m - 1 = 0
czyli m = 1/3
=============
z.5
a oraz b = c - 3 długości przyprostokątnych tego trójkąta
c - długośc przeciwprostokątnej
Mamy
sin 60 st = b/c = (c - 3)/c
czyli
( c - 3)/ c = p(3)/2
2*(c - 3) = p(3)* c
2c - 6 = p(3) *c
2c - p(3)*c = 6
c *( 2 - p(3)) = 6
c = 6/ ( 2 - p(3))
c = 12 + 6 p(3)
===============
b = c - 3 = 9 + 6 p(3)
==================
b/a = tg 60 st = p(3)
b = a p(3)
a = b / p(3) = [ 9 + 6 p(3)]/ p(3) = 3 p(3) + 6
a = 6 + 3 p(3)
===============
Odp. Boki trójkąta mają długości:
6 + 3 p(3), 9 + 6 p(3), 12 + 6 p(3)
===============================
z.6
x = [ 18 - 12]/2 = 6/2 = 3
I AE I = I AB I - x = 18 - 3 = 15
h = I CE I
zatem
h^2 = I BC I^2 - x^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 = 9*3
h = 3 p(3)
========
I AC I^2 = I AE I^2 + h^2 = 15^2 + 27 = 225 + 27 = 252 = 36* 7
I AC I = 6 p(7)
===============
sin alfa = h/ I AC I = [ 3 p(3)]/ [ 6 p(7) ]= p(3)/( 2 p(7) ) = 0,5 p(3/7)
cos alfa = I AE I / I AC I = 15/ ( 6 p(7)) = ( 15 p(7))/42 = 5 p(7) / 14
tg alfa = h/ I AE = ( 3 p(3))/15 = p(3)/5
==========================================================
z.7
c = 20 cm
beta = 5 alfa
beta + alfa = 90 st
-----------------------
5 alfa + alfa = 90 st
6 alfa = 90 st / : 6
alfa = 15 st
sin alfa = [ p(6) - p(2)]/4
b/ c = sin alfa
b = c * sin 15 st = 20 * [ p(6) - p(2)]/4 = 5*[ p(6) - p(2)]
==================================================
cos 15 st = [ p(6) + p(2)]/4
a/c = cos 15 st
a = c* cos 15 st = 20 *[ p(6) + p(2)]/4 = 5*[ p(6) + p(2)]
==================================================
Odp. a = 5*[ p(6) + p(2)] cm, b = 5*[ p(6) - p(2)] cm
----------------------------------------------------------------------------
z.8
I AC I = I AB I = 26
h = I CE I = 24
I AB I = 2*x
Mamy
x^2 = 26^2 - 24^2 = 676 - 576= 100
x = 10
I AB I = 2*10 = 20
P = (1/2)*I AB I *h = 0,5*20*24 = 240
oraz
P = 0,5*I BC I *I AD I
0,5*26 * I AD I = 240
I AD I = 240/13
I < DAB I = alfa
zatem
cos alfa = I AD I / I AB I = [240/13 ] / 20 = 240/260 = 24/26 = 12/13
cos alfa = 12/13
===================