Question

Zadania w załączniku.

Answer 1

1. an jest zbieżny -> każdy podciąg an jest zbieżny ->
   ->a(n+1) i a(2n) też są zbieżne
2. niech , zatem

-> zatem jest zbieżny
3. Nie musi być, wystarczy wziąć an = ∑ 1/k = 1 + 1/2 + 1/3 +... + 1/n
-> a(n+1) - an = 1/(n+1)  -> ten ciąg jest zbieżny do 0, ale an jest rozbieżny do nieskończoności
4.  an = (-1)^n  -> a(2n) = 1,  a(2n+1) = -1 -> ciąg rozbieżny, bo podciągi mają różne granice
(an)^2 = ((-1)^n )^2 = 1   -> ten ciąg jest zbieżny do 1 (ciąg stały)
dodatkowy warunek jest taki, że albo wszystkie wyrazy ciągu an są tego samego znaku, albo granica an i (an)^2 jest równa 0.
5. weźmy podciągi a(2n) = (2n+1)/(2n-1)   i  a(2n+1) = 2n/(2n+2)

zatem oba podciągi mają tę samą granicę i razem tworzą cały ciąg, zatem granica ciągu też jest równa 1.
6. Ponieważ jeśli zachodzi  |an - g| ≤ ε  d.d.d.n i dla każdego ε>0, to możemy dobrać jeszcze większe n, tak, aby  |an - g| ≤ ε/2 < ε , zatem nie psuje to w żaden sposób naszej definicji.