Question

Zadania w załączniku :)

Proszę o wszystkie obliczenia+dokładne wytłumaczenie.

Answer 1

zad 1

       {0,5x+2   dla x≤2

f(x)=

       {5-x        dla x>0

a) Wykres w załączniku [brązowe linie]

Punkty dla funkcji: f(x)=0,5x+2:

-- x=2  => P₁=(2, 3)

f(x)=0,5*2+2

f(x)=3

-- x=0  => P₂=(0, 2)

f(x)=0,5*0+2

f(x)=2

----------------------------

Punkty dla funkcji f(x)=5-x:

-- x=3  => P₃=(3, 2)

f(x)=5-3

f(x)=2

-- x=4  => P₄=(4, 1)

f(x)=5-4

f(x)=1

[Niebieska linia - wykres funkcji f(x)=2x-4 (funkcja z podpunktu b), pokazująca rozwiązania wskazanego w tym podpunkcie równania]

------------------------------------------------------------

b) 

1) 0,5x+2=2x-4

x+4=4x-8

-3x=-12

x=4 ∉(-∞, 2>

-----------------

2) 5-x=2x-4

-3x=-9

x=3 ∈(2, ∞)

Rozwiązaniem równania jest suma odpowiedzi 1 i 2, czyli x=3 (bo w 1 x=4 nie należy do dziedziny funkcji).

------------------------------------------------------------

c) 

1) 0,5x+2>-2 

x+4>-4

x>-8

x∈(-8, 2>

-----------------

2) 5-x>-2

-x>-7

x<7

x∈(2, 7)

Rozwiązaniem jest suma przedziałów z odpowiedzi 1 i 2, czyli:

x∈(-8, 2>u(2, 7)

x∈(-8, 7)

================================================

zad 2

A=(-2, 5)  i  B=(c, c+5)

Wykresem funkcji jest odcinek AB.

Jej najmniejszą wartością jest wartość y=-2 - stąd druga współrzędna jednego z punktów musi mieć wartość równą y=-2, czyli:

c+5=-2

c=-7

Punkt B ma zatem współrzędne B=(-7, -2)

--------------------------------------------

1. Wzór funkcji:

{5=-2a+b

{-2=-7a+b

---

{b=5+2a

{-2=-7a+5+2a

---

{b=5+2a

{-7=-5a

---

{b=5+2a

{a=7/5

---

{b=5 + 14/5

{a=7/5

---

{b=39/5

{a=7/5

Wzór funkcji: y=7/5 x + 39/5

[Dziedziną tej funkcji jest przedział <xB, xA>=<-7, -2>, ponieważ jej wykresem jest tylko wskazany odcinek]

--------------------------------------------

2. Miejsce zerowe funkcji:

y=0

0=7/5x + 39/5

7/5 x = -39/5     |*5/7

x=-39/7

Miejsce zerowe: Mz=(-39/7, 0)

================================================

zad 4

Warunek: f(x)+f(x+1)=4(x+1)

f(x)=ax+b

f(x+1)=a(x+1)+b

 

f(x)+f(x+1)=4(x+1)

ax+b + a(x+1)+b=4(x+1)

ax+b + ax+a+b=4x+4

2ax+a+2b=4x+4

 

Porównuję odpowiednie wyrazy:

2ax=4x    |:2x

a=2

a+2b=4

2+2b=4

2b=2

b=1

Wzór funkcji spełniającej podany warunek: y=2x+1

================================================

zad 5

Wykazać, prawdziwy: f(a+b)+f(a-b)=2f(a)

f(x)=ax+b

f(a+b)=a(a+b)+b

f(a-b)=a(a-b)+b

2f(a)=2*[a*a+b]

 

f(a+b)+f(a-b)=2f(a)

a(a+b)+b + a(a-b)+b=2*[a*a+b]

a²+ab+b + a²-ab+b=2a²+2b

2a²+2b=2a²+2b

L=P

Równość jest prawdziwa dla każdej funkcji liniowej.

Q.E.D.

================================================

zad 3

Dziedzina: x∈<-4, 2>

Przeciwdziedzina: y∈<-2, 10>

Będą dokładnie dwie funkcje których dziedzina i zbiór wartości będą odpowiadały podanym.

--------------------------------------------

1. Do wykresu funkcji należą punkty: A(-4, -2) i B(2, 10):

{-2=-4a+b

{10=2a+b

---

{b=4a-2

{10=2a+4a-2

---

{b=4a-2

{12=6a

---

{b=4a-2

{a=2

---

{b=8-2

{a=2

---

{b=6

{a=2

Wzór funkcji: y=2x+6

--------------------------------------------

2. Do wykresu funkcji należą punkty: A₁(-4, 10) i B(2, -2)

{10=-4a+b

{-2=2a+b

---

{b=10+4a

{-2=2a+10+4a

---

{b=10+4a

{6a=-12

---

{b=10+4a

{a=-2

---

{b=10-8

{a=-2

---

{b=2

{a=-2

Równanie funkcji: y=-2x+2

Answer 2

1.

a) wykres w zalaczniku (tylko na czarno)

b)

2x-4=0,5x+2 dla x≤2

1,5x=6/:1,5

x=4 ∉D

2x-4=5-x dla x>2

3x=5+4/:3

x=3

Ilustracja graficzna rownania w zalaczniku

c)

0,5x+2>-2  dla x≤2

0,5x>-4/*2

x>-8

x∈(-8,2>

5-x>-2 dla x<2

-x>-7/*(-1)

x<7

x∈(2,7)

Odp. x∈(-8,7)

2.

Jest to funkcja malejaca, poniewaz wartosc w punkcie A jest >0, a w B jest <0

c+5=-2

c=-7

B(-7,-2)

Wyznaczam rownanie prostej przechodzacej przez punkty AB

5=-2a+b

-2=-7a+b

-------------- -

7=5a

a=7/5=1,4

b-2*1,4=5

b=5+2,8

b=7,8

y=1,4x+7,8

1,4x+6,4=0

1,4x=-7,8/:1,4

x=-78:14= -5 i 4/7

miejsce zerowe x= - 5 i 4/7

3.

A(-4,-2), B(2,10) lub A(-4,10), B(2,-2)

-2=-4a+b

10=2a+b

------------ -

-12=-6a/:(-6)

a=2

b+4=10

b=6

lub

-2=2a+b

10=-4a+b

-------------- -

-12a=6a

a=-2

b-4=-2

b=2

Odp. y=-2x+2 lub y=2x+6  i x∈<-4,2>

4.

ax+b+a(x+1)+b=4x+4

2ax+a+2b=4x+4

2a=4/:2

a=2

2+2b=4

2b=2

b=1

y=2x+1

5.

L=a(a+b)+b+a(a-b)+b=a²+ab+b+a²-ab+b=2a²+2b=2(a²+b)

P=2f(a)=2(a*a+b)=2(a²+b)
L=P