Question

Zadania typu wykaż,udowodnij,uzasadnij,że...... :)

1.Uzasadnij następującą własność:

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy,gdy suma współczynników tego wielomianu jest równa 0.

2.Uzasadnij,że jeśli wielomian W(x)=ax⁷+bx⁵+cx³+dx+e spełnia warunek :

W(-1)=-W(1),to 0 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

3.Wykaz,że nie istnieją kąty α i β dla których zachodzą równości:

a)tgα+ctgα=1

b)tgβ+ctgβ=√2

4.Wykaż,że odcinek łączący środki 2 boków trójkąta jest równoległy do 3 boku i 2 razy od niego krótszy.

5.Wykaż,że ciąg(an(jest rosnący,a ciąg(bn) malejący:

a)an=4n-5, bn=-¾n-⅓

b)

6.Wykaz,że jeśli an=(2n)²,to a₁=4 i

7.Przyjmując,że 6⁹≈10⁷,wykaż,że log 6=

8.Wykaż,że:

a)log₄81+log₁₆81=log₂27

9.wykaż,że stosunek obwodu koła do obwodu wielokąa opisanego na nim jest równy stosunkowi pola koła do pola wielokąta.

Proszę o wyliczenia w edytorze równań,nie ręcznie bo nic nie bedzie widać ...

Mają być wszystkie obliczenia i objaśnienia.

Answer 1

Czyli suma współczynników wielomianu jest równa 0 wtt gdy W(1)=0 co należało udowodnić.

 

2.

Liczba x jest pierwiastkiem wielomianu wtt , gdyW(x)=0, co jednoznacznie potwierdza, że zero jest pierwiastkiem wielomianu.(co należało udowodnić).

 

3.

a)

Ponieważ funkcja sinx przyjmuje wartości od <-1;1> nie istnieje kąt alfa, dla tórego podany warunek byłby spełniony.

b)

Ponieważ funkcja sinx przyjmuje wartości od <-1;1> nie istnieje kąt alfa, dla tórego podany warunek byłby spełniony.

 

4.Rysunek w załączniku:

Sposób I)

Korzystamy z podobieństwa trójkątów z cechy bkb w trójkątach ABC i CDE, z czego wynika, że odpowiadające kąty są sobie równe, czyli ABC=DEC oraz EDC=BAC.

Ponieważ prosta ED przecina prostą AC pod takim samym kątem jak prosta AB, oznacza to, że odcinki AB i DE są równoległe.

Skala pododbieństwa:

, co oznacza, że:

co należało udowodnić.

 

Sposób II)

Korzystamy z wektorów:

Ponieważ wektor DE stanowi 1/2 wektora AB oznacza to, że jest on do niego równoległy. Co więcej jego długość stanowi połowę długości wektora AB, co wykzano wczesniej.(Co należało udowodnić).

 

5.Aby sprawdzić czy ciąg jest rosnący czy malejący obliczamy:

 

a) różnicę wyrazu a(n+1)-a(n). Gdy różnica jest większa od zera oznacza to, że wyraz a(n+1) jest większy od a(n), czyli ciag jest rosnący. Gdy jest mniejsza od zera, ciąg malejący.

 

Ponieważ różnica jest większa od zera jest to ciąg rosnący, co należało udowodnić.

 

Ponieważ różnica jest mniejsza od zera jest to ciąg malejący, co należało udowodnić.

 

b) iloraz wyrazów    . Gdy jest on większy od 1 oznacza to, że wyraz a(n+1) jest większy od a(n), czyli ciąg jest rosnący. Gdy jest on mniejszy od 1 oznacza to, że wyraz a(n+1) jest mniejszy od a(n) i ciąg jest malejący.

 

Ponieważ stosunek tych wyrazów jest większy od 1, ciąg an jest rosnący, co należało udowoodnić.

 

Ponieważ stosunek tych wyrazów jest mniejszy od 1, ciąg bn jest malejący, co należało udowoodnić.

 

6.

Co należało udowodnić.

 

7.

Co należało udowodnić.

 

8.

Co należało udowodnić

 

9.Obrazek w załączniku.

Boki wielokata opisanego na kole sa stycznymi koła, co jest pokazane na rysunku w załącnziku. Pole wielokąta obliczamy dzieląc go na 4 trójkąty o podstawach kolejno : a,b,c,d i wiezchołkach w środku koła. Innymi słowy pole czworokąta:

Co należało udowodnić.