Question

Zadania pochodzą z czarnej książki wydawnictwa Aksjomat obowiązkowa matura poziom podstawowy "testy maturalne" matematyka 2010.

Zestaw XV (geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej)


Zadanie 6. Dany jest punkt P=(2,7). Wyznacz na osi Ox taki punkt R, aby jego odległość od punktu P wynosiła √74.

Zadanie 7. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB, gdzie A=(-1,3) oraz B=(1,-1)

Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi

Zadanie 8. Wyznacz pole trójkąta równoramiennego ABC o ramionach AC i BC, w którym podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu
y=2x, a dwa wierzchołki mają współrzędne
A-(0,0), C=(-3,4).

Zadanie 9. Prosta o równaniu
y=x+4
przecina okrąg
x²+y²=25
w dwóch punktach A i B. Oblicz długość odcinka AB.

Zadanie 10. Oblicz pole trójkąta ABC wiedząc, że A=(-6,2), C=(3,2), natomiast współrzędne punktu B są rozwiązaniem układu równań:
{y=⅓x+4
{y=-x+5

Zadanie 11. Punkt M=(2,-5) jest wierzchołkiem kwadratu. Jeden z jego boków zawiera się w prostej o równaniu x+2y-7=0. Oblicz pole powierzchni tego kwadratu.

Answer 1

Zad. 6

P= (2, 7)

R leży na osi Ox, czyli R = (x, 0)

|PR| = √74

|PR| = √[(x - 2)² + (0 - 7)²]

√[(x - 2)² + (0 - 7)²] = √74  |²

(x - 2)² + (0 - 7)² = 74

x² - 4x + 4 + 49 = 74

x² - 4x + 53 - 74 = 0

x² - 4x - 21 = 0

Δ = (- 4)² - 4 · 1 · (- 21) = 16 + 84 = 100

√Δ = 10

x₁ = (4 - 10) / (2 · 1) = - 6 / 2 = - 3

x₂ = (4 + 10) / (2 · 1) = 14 / 2 = 7

 

Odp. Punkt R ma współrzędne: (-3; 0) lub (7; 0)

 

Zad. 7

A=(-1, 3) i B=(1, -1)

d - średnica okręgu

r  - promień okręgu

d = |AB| = √[(1 + 1)² + (- 1 - 3)²] = √[2² + (- 4)²] = √(4 + 16) = √20 = √(4·5) = 2√5

r  = ½ · d = ½ · 2√5 = √5

S - środek okręgu to środek odcinka AB

S = (xs; ys)

xs = (- 1 + 1) / 2 = 0 / 2 = 0

ys = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1

S = (0; 1)

Równanie okręgu o środku w punkcie S = (a, b) i promieniu r: (x - a)² + (y - b) = r²

(x - 0)² + (y - 1)² = (√5)²

x² + (y - 1)² = 5

 

Odp. Równanie okręgu: x² + (y - 1)² = 5

 

Zad. 8

P - pole trójkąta

ΔABC - trójkąt równoramienny o podstawie AB oraz ramionach AC i BC

podstawa AB zawiera się w prostej y = 2x

A = (0, 0) i C = (- 3, 4)

 

ΔABC jest równoramienny |AC| = |BC|

|AC| = √[(- 3 - 0)² + (4 - 0)²] = √[(- 3)² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5

|BC| = 5

Podstawa AB zawiera się w prostej y = 2x, czyli punkty A i B leżą na prostej o równaniu y = 2x, zatem B = (x, y) = (x, 2x)

|BC| = √[(- 3 - x)² + (4 - 2x)²] = √(9 + 6x + x² + 16 - 16x + 4x² = √(5x² - 10x + 25)

√(5x² - 10x + 25) = 5  |²

5x² - 10x + 25 = 25

5x² - 10x + 25 - 25 = 0

5x² - 10x = 0

5x · (x - 2) = 0

5x = 0 lub x - 2 = 0

x = 0 lub x = 2

x = 0 ⇒ y = 2x = 2 · 0 = 0, czyli B = (0, 0) odrzucamy, bo wtedy punkt B pokrywałby się z punktem A

x = 2 ⇒ y = 2x = 2 · 2 = 4, czyli B = (2, 4)

|AB| = √[(2 - 0)² + (4 - 0)²] = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = √(4·5) = 2√5

 

CD - wysokość ΔABC, gdzie D to środek podstawy AB

D = (xd; yd)

xd = (0 + 2) / 2 = 2 / 2 = 1

ys = (0 + 4) / 2 = 4 / 2 = 2

D = (1, 2)

|CD| = √[(1 + 3)² + (2 - 4)²] = √[4² + (-2)²] = √(16 + 4) = √20 = √(4·5) = 2√5

 

P = ½ · |AB| · |CD| = ½ · 2√5 · 2√5 = 10

 

Odp. Pole trójkąta wynosi 10 j².

 

Zad. 9

Prosta o równaniu y = x + 4 przecina okrąg x² + y² = 25 w dwóch punktach A i B.

Zatem wspólrzędne tych punktów spełniają zarówno równanie prostej, jak i okręgu.

{y = x + 4
{x² + y² = 25
Podstawiamy y = x + 4 do drugiego równania i rozwiązujemy go:
x² +(x + 4)² = 25
x² + x² + 8x + 16 = 25
2x² + 8x + 16 - 25 = 0

2x² + 8x - 9 = 0
Δ = 8² - 4 · 2 · (- 9) = 64 + 72 = 136
√Δ = √136 = √(4 · 34) = 2√34
x₁ = (-8 - 2√34)/(2 · 2) =  (- 8 - 2√34) / 4 = - 2 - ½ · √34
x₂ = (- 8 + 2√34)/(2 · 2) =  (- 8 + 2√34) / 4 = - 2 + ½ · √34
y₁ = x₁ + 4 = - 2 - ½ · √34 + 4 = 2 - ½ · √34

y₂ = x₂ + 4 = - 2 + ½ · √34 + 4 = 2 + ½ · √34

A =(- 2 - ½ · √34; 2 - ½ · √34)
B =( - 2 + ½ · √34; 2 + ½ · √34)

|AB| = √[(- 2 + ½ · √34 + 2 + ½ · √34)² + (2 + ½ · √34 - 2 + ½ · √34)²] = √[(√34)² + (√34)²] = √(34 + 34) = √68 = √(4·17) = 2√17

Odp. Długość odcinka AB jest równa 2√17

Zad. 10

P - pole trójkąta ABC

A = (- 6, 2), C = (3, 2), natomiast

Współrzędne punktu B są rozwiązaniem układu równań:
{y = ⅓x + 4 |·3
{y = - x + 5

{3y = x + 12
{y = - x + 5

__________

4y = 17  |:4

y = ¹⁷/₄ = 4¼

y = - x + 5

x = - y + 5

x = - 4¼ + 5 = ¾

{x = ¾

{y = 4¼

 

B = (¾, 4¼)

Zatem: A = (- 6, 2), B = (¾, 4¼), C = (3, 2)

Widzimy, że punkty A i C leżą na prostej y = 2 (mają tę samą drugą wspólrzedną), czyli bok AC będzie podstawą trójkąta ABC, a jego wysokość będzie równa odległości punkty B = (¾, 4¼) od prostej y = 2

|AC| = √[(3 + 6)² + (2 - 2)²] = √(9² + 0²] = √81 = √20 = 9

Odległość punktu P = (a, b) od prostej l: Ax + By + C = 0 wyraża się wzorem:

d = |A·a + B·b +C| / √(A² + B²)

C = (3, 2) i y = 2 ⇒ y - 2 = 0, czyli a = ¾, b = 4¼, A = 0, B = 1, C = - 2

h = |0·¾ + 1·4¼ - 2| / √(0² + 1²) = |0 + 4¼ - 2| / 1 = 2¼

P = ½ · |AC| · h = ½ · 9 · 2¼ = ⁹/₂ · ⁹/₄ = ⁸¹/₈ = 10⅛

Odp. pole trójkąta ABC wynosi 10⅛ j².

Zad. 11

punkt M = (2, - 5) - wierzchołkiem kwadratu

prosta l: x + 2y - 7 = 0

Sprawdzamy czy punkt M = (2, - 5) należy do prostej l

2 + 2 ·( - 5) - 7 = 2 - 10 - 7 = - 15 ≠ 0, czyli punkt M nie nalezy do tej prostej. Zatem długość boku kwadratu będzie równa odległości d punktu M od prostej l.

M = (2, - 5) l: x + 2y - 7 = 0

a = 2, b = - 5, A = 1, B = 2, C = - 7

d = |A·a + B·b +C| / √(A² + B²)

d = |1·2 + 2·(- 5)  - 7| / √(1² + 2²) = |2 - 10 - 7| / √(1 + 4) = |- 15| / √5 = 15 / √5

P = d²

P = (15 / √5)² = 15² / (√5)² = 225 / 5 = 45

Odp. Pole kwadratu wynosi 45 j².