Question

Proszę o rozwiązanie zadań z Matematyki : ) z góry dziękuję : )

zad1 wyznacz x z wyrażenia ax + c = bx + d

zad 2 znajdz stosunek promieni dwóch kul , wiedząc że objętość jednej kuli wynosi 36pi cm3 a powierzchnia 64pi cm2 ?

zad 3 Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego którego dłuższa podstawa ma długosc 20 cm a ramię ma długość 5 cm a miara kąta ostrego wynosi 60stopni /

zad4 przed 10 laty ojciec byl cztery lata starszy od syna . Za 10 lat obaj bedą mieli razem 100 lat . Ile lat ma obecnie każdy z nich ?

zad 5 Wyznacz ostatnią cyfrę liczby

( 2dopotęgi1999 + 7dopotęgi1999)do3

Answer 1

1.

ax + c = bx + d

ax - bx = d - c

x(a-b) = d - c

x = (d-c)/(a-b), przy założeniu, że a jest różne od b

 

2.

Ponieważ liczymy stosunek promieni, a stosunek nie ma jednostki, pomijam od razu cm^3 i cm^2.

4/3 * pi * r1^3 = 36*pi

r1^3 = 36 / (4/3)

r1^3 = 27

r1 = pierw.3.st(27)

r1 = 3

 

4*pi*r2^2 = 64*pi

r2^2 = 16

r2 = 4

 

r1/r2 = 3/4

 

4.

x - wiek ojca

y - wiek syna

 

(x-10) = (y-10) + 4

(x+10) + (y+10) = 100

 

x-10 = y - 6

x + y + 20 = 100

 

x = y+4

y + 4 + y = 80

 

2y = 76

x = y + 4

 

y = 38

x = 42

 

Swoją drogą, ciekawe, że syn jest o 4 lata młodszy od ojca ;)

 

5.

Popatrzmy na ostatnie cyfry kolejnych potęg dwójki:

2

4

8

16

32

64

128

256

512

....

Widać, że ostatnia cyfra powtarza się wg. sekwencji 2-4-8-6 itd. Sekwencja ma długość 4. To oznacza, że 2 do potęgi 2000 kończy się cyfrą 6, bo 2000 jest podzielne przez 4. Zatem 2 do potęgi 1999 kończy się cyfrą 8.

Rozpisz podobnie kolejne potęgi liczby 7. Tam sekwencja też ma długość 4 i wygląda następująco: 7-9-3-1. 7 do 2000 kończy się więc cyfrą 1, a 7 do 1999 cyfrą 3. Zatem (2^1999 + 7^1999) kończy się cyfrą 1, bo 3+8 = 11.

Sumę musimy podnieśc do 3 potęgi. Zauważ, że liczby kończące się cyfrą 1, po podniesieniu do 3. potęgi również kończą się cyfrą 1. Dowód na to wygląda następująco:

Liczby kończące się cyfrą 1 możemy przedstawić w postaci 10a + 1, gdzie a to jakas liczba całkowita. 10a zawsze kończy się zerem, więc 10a+1 zawsze kończy się jedynką. Podnieśmy (10a + 1) do 3. potęgi:

(10a+1)^3 = (10a + 1)(100a^2 + 20a + 1) = 1000a^3 + 300a^2 + 30a + 1.

Dla dowolnego całkowitego a, 1000a^3 kończy się zerami, bo mamy mnożenie przez 1000. 300a^2 też kończy się zerami, bo mnożymy przez 300. Podobnie jest ze wszystkimi składnikami tej sumy, poza jedynką. Mamy więc sumę liczb kończących się zerami oraz jedynkę. Czyli wynik kończy się jedynką.

Z powyższego wynika, że (2^1999 + 7^1999)^3 kończy się jedynką. Pozdrawiam :)