Question

Zad1

rozwiaz rownania

a) x^3-7x^2-4x+28=0

b) 24x^3-2x^2-9x+2=0

Zad2 rozwiaw nierownosci

a) -(x^2+3x)(x^2-4)(x^2+4x+4) < lub = 0

b) (x-4)(x^5-3x^4-4x^3+8x^2-24x-32)>0

Zad3

Zbadaj czy wielomian W(x)=x^21+2x-3 jest podzielny przez dwumian x+1

Zad4

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez x+1 wynosi 3, a reszta z dzielenia przez x-2 wynosi 15. Znajdz reszte z dzielenia W(x) przez (x+1)(x-2)

Answer 1

zad1

a) 

x^3-7x^2-4x+28=0

x(x^2-4)-7(x^2-4)=0

(x^2-4)(x-7)=0

x^2-4=0 lub x-7=0

x^2=4 lub x=7

x=2 lub x=-2 

Odp: x=-2 lub x=2 lub x=7 

b) 

24x^3-2x^2-9x+2=0

24x^3-2x^2-9x+2=(x-1/2)(24x^2+10x-4)

x=1/2 lub 24x^2+10x-4=0

                 Δ=100-(4 · 24 · (-4) = 484

                  √Δ = 22

                 x1= (-10+22) : 48 = 1/4

                 x2 = (-10-22) : 48 = -2/3

Odp: x=1/2 lub x=1/4 lub x=-2/3

 Odp: x=½ lub x=¼ lub x=-²/₃

 
zad2

a)

 -(x^2+3x)(x^2-4)(x^2+4x+4) ≤  0

-x(x+3)(x^2-4)(x^2+4x+4) ≤ 0

 

x=0 lub x+3=0 lub x^2-4=0 lub x^2+4x+4=0

 

x=0 lub x=-3 lub x^2=4 lub x^2+4x+4=0

                       x=2 lub x=-2                         Δ=16-(4 x 1 x 4)= 0

                                                x0= -4:2 = -2 <--- 2-krotne

W nawiasach krotności pierwiastka, które przydaja sie podczas rysowania osi i nałożenia liczb na oś:

x(1)=0 lub x(1)=-3 lub x(1)=2 lub x(3) =-2

 

Odp : x∈ (-∞ ;-3 > U <-2;0> U <2;∞)

 

b) 

(x-4)(x^5-3x^4-4x^3+8x^2-24x-32)>0

(x-4)[x^2(x^3+8)-3x(x^3+8)-4(x^3+8)]>0

x-4=0 lub (x^3+8)(x^2-3x-4)=0

x=4 lub x^3+8=0 lub x^2-3x-4=0

x=4 lub x^3=-8 lub Δ=9-(4 x 1 x (-1))=25 , √Δ=5

x=4 lub x=-2 lub    x1=(3+5) : 2 = 4 lub x2= (3-5) : 2 = -1

W nawiasach krotności pierwiastka, które przydaja sie podczas rysowania osi i nałożenia liczb na oś:

x(2)=4 lub x(1)=-2 lub x(1)=-1

Odp : x∈ (-∞;-2) U (1;4) U (4;∞)

lub inny zapis : x∈ (-∞;-2) U (1;∞) -{4}

Zad3

W(x)=x^21+2x-3 : (x+1) ⇔ W(x)=x^21+2x-3=0

czyli :

x+1=0

x=-1

w(-1)= (-1)^21+2·(-1) -3 = -1-2+3=0

Odp: Jest podzielny przed dwumian  x+1.

Dla sprawdzenia można podzielić to.

Zad4

x+1=0 wiec x=-1

x-2=0 wiec x=2

W(2)

W(-1)

 

dzielimy przez (x+1)(x-2) więc wielomian 2 stopnia, zatem reszta będzie conajwyżej 1 stopnia...

 

wzór ogólny reszty to ax+b i to wstwiamy do:

 

W(-1) = a*(-1)+b = 3

W(2) = a*2+b = 15

 

b=a+3

2a+a+3=15

a=4

b=7

 

Odp : Reszta : 4x+7

 

-5a-2a=14

-7a=14

a=-2

 

b=-2*(-2)=4

 

odp: reszta = -2x+4