Question

Zad1

Dla jakiej wartosci parametru a reszta z dzielenia wielomianu

W(x)=x^4-(a-1)(a+1)x^3+(a+1)^2*x^2-3(a-1)x-5 przez x-1 wynosi 2?

Zad2

Dane sa okregi x^2+y^2+12x+2y-28=0 i x^2+y^2-8x-8y-8=0. Oblicz dlugosc wspolnej cieciwy tych okregow oraz odleglosc miedzy srodkami okregow.

Zad3

Znajdz rownanie stycznej do okregu o srodku S=(-3,-2) w punkcie A=(1,2) oraz zapisz rownanie tego okregu

Zad4 Znajdz rownanie okregu o srodku S=(-2,-1), jezeli prosta y=-2x+3 jest styczna do tego okregu

Zad5

Znajdz pkt wspolne:

a) prostych y=3x-4 i 2y+5x-3=0

b) okregu (x-4)^2+(y-1)^2=26 i prostej x-y+3=0

Answer 1

z.1

W(x) = x^4 - ( a -1)( a + 1) x^3 + ( a + 1)^2 x^2 - 3 (a -1) x - 5

Reszta R  z dzielenia W (x) przez  x -1   jest równa W( 1)

czyli

R = 1 - ( a -1)( a + 1) + ( a + 1)^2 - 3*(a -1) - 5 =

= 1 - ( a^2 - 1) + ( a^2 + 2a + 1 ) - 3a + 3 - 5 =

= 1 - a^2 + 1 + a^2 + 2a + 1 - 3a - 2 = - a + 1

 

 

R = 2 < => - a + 1 =  2 < => a = - 1

Odp. a = - 1

================

Dla a = - 1

W(x) = x^4 + 6 x - 5

 

----------------------------------------

z.2

x^2 + y^2 + 12 x + 2y - 28 = 0

x^2 + y^2 - 8 x - 8 y - 8 = 0

--------------------------------------  odejmuję stronami

20 x + 10 y - 20 = 0  / : 10

2x + y = 2

y = 2 - 2x

------------

Wstawiam za  y  do  II  równania:

x^2 + ( 2 - 2x)^2 - 8 x - 8*(2 - 2x) - 8 = 0

x^2 + 4 - 8 x + 4 x^2 -  8 x - 16 + 16 x - 8 = 0

5 x^2 = 20

x^2 = 4

x = - 2  lub  x =  2

y = 2 - 2*( -2) = 2 + 4 = 6    lub  y = 2 - 2*2 = - 2

A = ( - 2; 6) ,  B = ( 2; - 2)

----------------------------------

Długość cięciwy AB :

I AB I^2 = ( 2 - ( -2))^2 + ( - 2 - 6)^2 = 4^2 + ( -8)^2 = 16 + 64 = 80 = 16*5

zatem

I AB I = p( 80) = p ( 16*5) = 4 p(5)

===============================

p(5)  - pierwiastek kwadratowy z 5

Zapisujemy inaczej równania danych okręgów:

x^2 + y^2 + 12 x + 2 y - 28 = 0

( x + 6)^2 - 36 + ( y + 1)^2  - 1 - 28 = 0

( x + 6)^2 + ( y + 1)^2 = 65

S1 = ( - 6; - 1)

===============

x^2 + y^2 - 8 x - 8 y - 8 = 0

( x - 4)^2 - 16 + ( y - 4)^2 - 16 - 8 = 0

( x - 4)^2 + ( y - 4 )^2 = 40

S2 = ( 4 ; 4)

==========

Odległość między środkami  okręgów :

I S1 S2 I^2 = ( 4 - (-6))^2 + ( 4 - (-1))^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125 = 25*5

zatem

I S1 S2 I = p ( 125 ) = p( 25*5) = 5 p(5)

==========================================

z.3

 

S = ( - 3 ; - 2)    oraz  A = ( 1; 2)

Wyznaczam prostą SA

 y = a x + b

- 2 = -3a + b

2 = a + b

------------------  odejmuję stronami

2 - ( -2) = a - ( -3a)

4 = 4 a

a = 1

------

2 = 1 + b

b = 1

------

y = x + 1    - równanie prostej SA

=======

Prosta styczna do okręgu  jest prostopadła do tej prostej i przechodzi przez punkt

A = ( 1; 2)

zatem

y = - x + b1  - równanie dowolnej prostej prostopadłej do pr SA [  bo  1* (-1) = - 1 ]

Wstawiam 1 za x oraz  2  za y:

2 = - 1 + b1

b1 = 3

--------

y = - x + 3      - równanie prostej stycznej do danego olręgu w punkcie A

=============

Mamy

r^2 = I S A I^2 = ( 1 - (-3))^2 + ( 2 - (-2))^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Równanie okręgu:

 

( x + 3)^2 + ( y + 2)^2 = 32

=================================

Korzystamy z  równnia okręgu :

( x - xs)^2 + ( y - ys)^2 = r^2

gdzie  S = ( xs; ys)  - środek okręgu  i    r  - promień okręgu

======================================================

 z.4

 

S = ( -2 ; - 1)

y = - 2 x + 3

 

Przes  środek okręgu S  prowadzimy prostą prostopadłą do danej prostej:

-2*a2 = - 1

a2 = 1/2

y = (1/2) x + b2

Wstawiam -2 za x  oraz  -1  za  y :

- 1 = (1/2)*(-2) + b2

- 1 = -1 + b2

b2= 0

-------

y = (1/2) x     - równanie prostej prostoopadłej do stycznej

=============

Te dwie proste przecinają się w punkcie styczności

y = -2 x + 3

y = (1/2) x

------------------

zatem

- 2 x + 3 = (1/2) x    / * 2

- 4 x + 6 = x

- 5x = - 6

x = 1,2

======

y = (1/2)*1,2 = 0,6

====================

A = (  1,2 ;  0,6 )  -  punkt styczności

 

Mamy

r^2 = I S A I^2 = ( 1,2 - (-2))^2 + ( 0,6 - ( -1))^2 = 3,2 ^2 + 1,6^2 = 10,24 + 2,56 =

= 12,8

Równanie okręgu

 

( x + 2)^2 + ( y + 1)^2 +  12,8

================================

 

z.5

a)

y = 3x - 4

2 y + 5 x - 3 = 0  =>  2y = - 5 x + 3

------------------------

y = 3x - 4

y = -2,5 x + 1,5

----------------------

3x - 4 = - 2,5 x + 1,5  / * 2

6x - 8 = - 5 x + 3

11x = 11

x = 1

====

y = 3*1 - 4 = 3 - 4 = - 1

========================

P = ( 1; - 1)  - punkt wspólny tych prostych

==========================================

b)

( x - 4)^2 + ( y - 1)^2 = 26

x - y + 3 = 0  =>  y = x + 3

---------------------

( x - 4)^2 + ( x + 3 - 1)^2 = 26

x^2 - 8x + 16 + x^2 + 4x + 4 = 26

2 x^2 - 4 x - 6 = 0  / : 2

x^2 - 2x - 3 = 0

==============

delta = (-2)^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16

p( delty) = 4

x1 = [ 2 - 4]/2 = -2/2 = -1

x2 = [ 2 + 4]/2 = 6/2 = 3

zatem

y1 =  -1 + 3 = 2

y2 = 3 + 3 = 6

Odp. A = ( - 1; 2),  B = ( 3; 6)

====================================