Question

zad.1 Wyznacz różnicę ciągu, pierwszy wyraz i wzór ogólny ciągu arytmetycznego mając dane:

a) a₃ = 0, a₈=15

Zad.2 Dla jakich wartości x liczby 2x -1, 2x +3, 2x +7 tworzą

a) ciąg arytmetyczny?

b) ciąg geometryczny?

Zad.3 Oblicz

log₃ 9 log₂ 0,5 log₅ √5 log100 log√1000

log₃ ⅓ log₄ 4 log₃ 1 log 0,1 log₅ 0,04

zad.4 Podaj dziedzine:

a) x³ - 5x² b) x² - 4 c) 2x² + 6x

₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋ ₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋ ₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋

x² - 25 x² + 4x + 4 x³ - 9x

d) x² + 4x e) x² + 6x + 9 f) x³ - x

₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋ ₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋ ₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋

x² - x - 20 x² - 3x - 18 x² + 2x - 3

Answer 1

zad 1

Wzór na an-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

-------------------------------------------

{a₃=0

{a₈=15

---

{a₁+2r=0

{a₁+7r=15

---

{a₁=-2r

{-2r+7r=15

---

{a₁=-2r

{5r=15

---

{a₁=-6   [pierwszy wyraz]

{r=3      [różnica ciągu]

Wzór ogólny ciągu:

an=-6+(n-1)*3

an=-6+3n-3

an=3n-9

========================================

zad 2

a) ciąg arytmetyczny:

Własność ciągu arytmetycznego:

-------------------------------------------

a(n-1)=2x-1

an=2x+3

a(n+1)=2x+7

2x+7-(2x+3)=2x+3-(2x-1)

2x+7-2x-3=2x+3-2x+1

4=4

Czyli dla każdej liczby podane wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny.

---------------------------------------------------------------------------

b) ciąg geometryczny

Własność ciągu geometrycznego:

-------------------------------------------

a(n-1)=2x-1

an=2x+3

a(n+1)=2x+7

Czyli nie ma liczby x dla której dane wyrazy będą tworzyć ciąg geometryczny.

========================================

zad 3

Definicja logarytmu:

Własności logarytmu:

-------------------------------------------

log₃9=c  <=> 3^c=9

3^c=9

3^c=3²

c=2

--------------

log₂0,5=c  <=> 2^c=1/2

2^c=1/2

2^c=2⁻¹

c=-1    

--------------

log₅√5=1/2 * log₅5=1/2 * 1=1/2

--------------

log100=log10²=2log10=2*1=2

--------------

log√1000=1/2 * log1000=1/2 *log10³=3/2 *log10=3/2 * 1=3/2

--------------

log₃ ⅓=log₃3⁻¹=-log₃3=-1*1=-1     

--------------

log₄4=1        

--------------

log₃1=0      

--------------

log 0,1=log10⁻¹=-log10=-1*1=-1    

--------------

log₅0,04=log₅1/25=log₅5⁻²=-2log₅5=-2*1=-2

========================================

zad 4

Dziedzinę wyrażenia wymiernego wyznacza się z mianownika.

Wzory skróconego mnożenia:

(a+b)²=a²+2ab+b² - kwadrat sumy;

(a-b)²=a²-2ab+b² - kwadrat różnicy;

a²-b²=(a-b)(a+b) - różnica kwadratów;

-------------------------------------------

a) x² - 25≠0

(x-5)(x+5)≠0

x≠5  i  x≠-5

D={x: x∈R\{-5, 5}}  

--------------

b) x² + 4x + 4≠0  

(x+2)≠0

x+2≠0

x≠-2

D={x: x∈∈R\{-2}}

--------------

c) x³ - 9x≠0

x(x²-9)≠0

x(x-3)(x+3)≠0

x≠0  i  x≠3  i  x≠-3

D={x: x∈R\{-3, 0, 3}}

--------------

d) x² - x - 20≠0

Δ=b²-4ac=1+80=81

√Δ=9

x₁=[-b-√Δ]/2a=[1-9]/2=-4

x₂=[-b+√Δ]/2a=[1+9]/2=5

D={x: x∈R\{-4, 5}}

--------------

e) x² - 3x - 18≠0 

Δ=b²-4ac=9+72=81

√Δ=9

x₁=[-b-√Δ]/2a=[3-9]/2=-3

x₂=[-b+√Δ]/2a=[3+9]/2=6

D={x: x∈R\{-3, 6}}

--------------

f) x² + 2x - 3≠0

Δ=b²-4ac=4+12=16

√Δ=4

x₁=[-b-√Δ]/2a=[-2-4]/2=-3

x₂=[-b+√Δ]/2a=[-2+4]/2=1

D={x: x∈R\{-3, 1}}