Question

*zad1 Uzasadnij, ze liczba 3( n+2 to jest w potędze) +3n( do potegi n) jest podzielna przez 10 dla kazdej liczby naturalnej n.

*zad 2 reszty z dzielenia przez 5 liczb naturalnych a b c d wynosza odpowiedznio: 1 2 3 4. Wykaz ze suma a +b+c+d jest liczba podzielna przez 5 i jest taka wskazowka( Kazda liczbe naturalna a mozna przedstawic w postaci a= 7k +r, gdzie k i r sa liczbami naturalnymi i r<7. Wtedy r jest reszta z dzielenia liczby a przez 7.( gdy liczba a jest podzielna przez 7 to r=0)

* zad3 Z liczby dwucyfrowej a utworzono dwie liczby: pierwsza przez dopisanie cyfry 1 na poczatku, druga przez dopisanie cyfry 1 na koncu. Uzasadnij, zee iloczyn otrzymanych liczb pomniejszony o liczbe a jest podzuelny przez 10.

Answer 1

1. Metoda I
Zrobię to przy użyciu indukcji matematycznej.
3^(n+2)+3^n=10m

1. Szukam najmniejszej liczby naturalnej dla, której twierdzenie jest prawdziwe.
n=0
L=3^(n+2)+3^n=9+1=10=10*1=|c∋m=1|=10m=P

∀n≥0
Założenie: ∃m∈c 3^(n+2)+3^n=10m
Teza: ∃l∈c 3^[(n+1)+2]+3^(n+1)=10l

L=3^[(n+1)+2]+3^(n+1)=3*3^(n+2)+3*3^n=3[3^(n+2)+3^n]=3*10m=10*3m=|c∋l=3m|=10l=P
Ponieważ m jest liczbą całkowitą więc l również musi być liczbą całkowitą

Metoda II
3^(n+2)+3^n=3²*3^n+3^n=9*3^n+3^n=3^n(9+1)=10*3^n
Liczba 10*3^n jest z pewnością podzielna przez 10, gdyż n∈N, więc 3^n jest również liczbą naturalną.

2.
a+b+c+d=(5e+1)+(5f+2)+(5g+3)+(5h+4)=
=5e+5f+5g+5h+10=5(e+f+g+h+2)
Co oznacza, że a+b+c+d jest podzielne przez 5

3. Liczbę dwucyfrową można zapisać w postaci:
a=10x+y, gdzie x,y są cyframi
b=100x+10y+1
c=100+10x+y
b*c-a=10d
(100x+10y+1)(100+10x+y)-(10x+y)=
=10000x+1000y+100+1000x²+100xy+10x+100xy+10y²+y-10x-y=
=10000x+1000y+1000x²+200xy+10y²+100=
=10(1000x+100y+100x²+20xy+y²+10)=10d
więc jest to podzielne przez 10, gdyż x i y są liczbami naturalnymi, więc i d musi być liczbą naturalną