Question

Zad.1
Trójkąt równoramienny jest wpisany w okrąg.
Oblicz pole tego trójkąta, jeśli jego podstawa wynosi 4, a promień okręgu ma długość 3.
Zad.2
Sprawdź czy można wpisac w okrąg czworokąt wypukły, którego kolejne boki mają długości:
a) 6, 16, 26, 36
b) 3√2, √8, 2√2, √12
c) Ułamki: jedna-druga, jedna-trzecia, jedna-czwarta, jedna-szósta
W drugim zadaniu nie interesują mnie odpowiedzi
a) tak, b) nie itp.:)

Answer 1

Mamy tylko bok "c". Narysujmy sobie tą sytuację. Odcinek AB=4, wtedy wysokość poprowadzona z wierzchołka C (ze złączenia ramion) dzieli nasz bok na dwie równe części (wysokość jest symetralną):
http://i39.tinypic.com/24lv6kh.jpg

jeśli bylibyśmy wstanie poznać wysokość opuszczoną z wierzchołka C na bok AB to mamy pole... i jesteśmy! Zauważmy, że znamy długość |CS|=3, wystarczy poznać pozostałą część - ta pozostała część to wysokość trójkąta ABS - znamy wszystkie jego boki (3,3,4) więc obliczmy pole ze wzoru Herona:

P=√p(p-a)(p-b)(p-c), gdzie p to połowa obwodu:
p=(3+3+4)/2=10/2=5

P=√5(5-3)(5-3)(5-4)
P=√5*2*2*1
P=2√5

teraz więc wystarczy poznać odcinek |SD| i mamy wysokość całego trójkąta |CD|:
P=a*|CD|
2√5=4*|CD| |:4
|CD|=2√5/4
|CD|=½√5

wysokość trójkąta ABC to nic innego jak |CD|+|CS|=½√5+3

liczymy więc pole trójkąta ABC:
P=a*h
P=4*(½√5+3)
P=2√5+12

Zad2:
Twierdzenie Ptolemeusza mówi, że jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg to iloczyn długości jego przekątnych jest równy sumie iloczynów długości boków przyległych:
ef=ac+bd

http://i41.tinypic.com/1129zww.jpg

wiedząc, że jeżeli da się czworokąt wpisać w okrąg to suma przeciwległych kątów jest równa 180⁰ możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
f²=6²+16²-2*6*16*cosα
f²=26²+36²-2*26*36*cos(α-180⁰)

z wiedzy, że cos(α-180)=-cosα:
f²=6²+16²-2*6*16*cosα
f²=26²+36²+2*26*36*cos(α)

f²=36+256-192cosα
f²=676+1296+1872cos(α)


f²=292-192cosα
f²=1972+1872cos(α)

f²=f²
292-192cosα=1972+1872cosα
-192cosα=1680+1872cosα |:4
-48cosα=420+468cosα
-516cosα=420 |:(-516)
cosα=-420/516
cosα=-105/129
cosα=-35/43

jako, że cosα<1 to chwilowo wszystko pasuje... wstawiamy:
f²=292-192cosα
f²=292-192*(-35/43)
f²=292-6720/43
f²=12556/43 - 6720/43
f²=5836/43
f=√5836/43


tak samo liczymy długość e:
e²=16²+26²-2*16*26cosβ
e²=6²+36²-2*6*36*cos(β-180⁰)

e²=16²+26²-2*16*26cosβ
e²=6²+36²+2*6*36*cos(β)

e²=256+676-832cosβ
e²=36+1296+432cosβ

e²=932-832cosβ
e²=1332+432cosβ

932-832cosβ=1332+432cosβ
-1264cosβ=400 /:8
-158cosβ=50
-79cosβ=25 /:9-79)
cosβ=-25/79

wstawiamy:
e²=1332+432cosβ
e²=1332+432*(-25/79)
e²=105228/79-10800/79
e²=94428/79
e=√94428/79

i teraz tak:
ef=ac+bd
√94428/79 * √5836/43 = 16*36 + 6*26
√94428*5836/79*43 = 576 + 156
√2196*5836/79 = 732
402 ≠ 732

na tym czworokącie nie da się opisać okręgu


b) 3√2, √8, 2√2, √12

3√2=3√2
√8=2√2
2√2=2√2
√12=2√3

2√2 < 2√3 < 3√2

bez rysunku:
f²=(2√2)²+(2√2)²-2*2√2*2√2*cosα
f²=(2√3)²+(3√2)²+2*2√3*3√2*cosα

f²=8+8-16cosα
f²=12+18+12√6cosα

f²=16-16cosα
f²=30+12√6cosα

16-16cosα = 30+12√6cosα
-14-16cosα-12√6cosα = 0
16cosα+12√6cosα = -14
cosα(16+12√6)=-14 /:(16+12√6)
cosα=-7/(8+6√6)

f²=16-16cosα
f²=16-16*(-7/(8+6√6))
f²=16+112/2*(4+3√6)
f²=16+56/(4+3√6)
f²=16+56*(4-3√6)/16-54
f²=16-(224-168√6/38)
f²=308/38-(224+168√6)/38
f²=84*(1+2√6)/38
f²=(42+84√6)/19
f=√(42+84√6)/19

liczymy e:
e²=(2√2)²+(2√3)²-2*2√2*2√3*cosβ
e²=(2√2)²+(3√2)²+2*2√2*3√2*cosβ

e²=8+12-8√6*cosβ
e²=8+18+24*cosβ

e²=20-8√6*cosβ
e²=26+24*cosβ

20-8√6*cosβ = 26+24*cosβ
24cosβ+8√6*cosβ=-6 |:2
12cosβ+4√6cosβ=-3
cosβ(12+4√6)=-3
cosβ=-3/(12+4√6)

e²=26+24*cosβ
e²=26+24*(-3/(12+4√6))
e²=26-72/(12+4√6)
e²=26 - (864-288√6)/(144-96)
e²=26 -(864-288√6)/48
e²=1248/48-(864-288√6)/48
e²=(384+288√6)/48
e²=(96+72√6)/12
e²=8+6√6
e=√(8+6√6)

i teraz ponownie:
e*f = ac+bd
√(8+6√6) * √(42+84√6)/19 = 2√2*2√3 + 2√2*3√2
≈17,203 = 4√6 + 12
17≠21


nie wiem czy da się prościej zrobić... zajęło mi to ponad godzinkę - to ostatni przykład dla Ciebie. Jak na razie oba nie spełniają warunków zadania (nie da się opisać okręgu).