Question

Zad.1]
Przekatna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą kąt 15*, a z ramieniem trapezu- kat 120*. oblicz stosunek długości przekatnej trapezu do długości dłuższej podstawy.
zad.2]
Kąt ostry równoległoboku ma miarę 75*, a jeden z jego boków ma długość 4cm. wiedząc, że krótsza przekątna równoległoboku ma długość 2 pierwiastki z ( 4 + pierwiastek z 3 ) cm, oblicz jego obwód i długość drugiej przekątnej.
odp. do zad. 1 : stosunek= pierwiastek z 6 do 3
odp. do zad. 2] d= 2 pierwiastki z ( 8+ pierwiastek z 3)
Obwód= 2( 4+ pierwiastek z 2 + pierwiastek z 6)
Proszę o pomoc.

Answer 1

1]
I AB I=a= dł. dłuższej podstawy

ICDI= b= dł. krótszej podstawy
 I AC I= d= dł. przekątnej
kąt BAC=15*
kąt ACB= 120*, czyli
kąt  ABC=45*
sin 120*= sin (180*-60*)= sin 60*=√3/2
z tw. sinusów: w trójkacie ABC;
 a/ sin 120* = d/ sin 45*
d/a=√2/2:√3/2=√6/3
2]
h=wysokosc opuszczona na bok a
75*= miara kata ostrego

ABI=a
IADI= b=4
sin 75*h/b
sin 75*=(√6+√2)/4
(√6+√2)/4=h/4
h=√6+√2
z tw. cosinusów:
[2√(4+√3) ]²=4²+a²-2*4*a*cos75*
4(4+√3)=16+a²-2*4*a*(√6-√2)/4
16+4√3=16+a²-2a(√6-√2)
a²-2a(√6-√2)-4√3=0
Δ=[ 2(√6-√2)]²+4*4√3=(2√6-2√2)²+16√3=
24-8√12+8+16√3=32=16√3+16√3=32
√Δ=4√2
a1=(2√6-2√2+4√2)/2=√6+√2
a2=(2√6-2√2-4√2)/2=√6-3√2= sprzeczne, bo to l. ujemna

a=√6+√2
obwód=8+2(√6+√2)=8+2√6+2√2

k= dł. drugiej przekatnej
w równoległoboku ;
2a²+2b²=e²+f²
e,f=dł. przekatnych, czyli;
f=k
k²=2*4²+2*(√6+√2)-  [ 2√(4+√3)]²=32+4√3
k=√ [ 32+4√3]=√[ 4(8+√3]=2√(8+√3)

nie będę marnowała czasu na rzeczy oczywiste, na rozszerzonej matematyce, ale przypominam, że sin 75*= sin (45*+30*)= sin 45*  * cos 30*+
cos 45*    *  sin  30*= ( √6+√2)/4