Question

Zad. 2. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 600. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zad. 3. Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości 12 cm jest romb. Przekątne graniastosłupa mają długości 13 cm i 16 cm. Oblicz objętość graniastosłupa.

Answer 1

Zad. 2. (załącznik "graniastosłup1")

 

Dane:

kąt α=60⁰

przekątna graniastosłupa (fioletowa linia) d₁=6cm

 

Szukane:

Pc=2Pp+Pb

Pp=a²

Pb=4*a*H

szukamy a i H

 

Patrzymy na trójkąt ACC'. Korzystamy z funcji trygonometrycznych kąta α:

Liczymy wysokość graniastosłupa "H":

sinα=H/d₁

sin60⁰=H/6

√3/2=H/6

2H=6√3

H=3√3cm

Teraz z tego samego trójkąta i kąta liczymy przekątną podstawy "d₂", aby można było wyliczyć bok podstawy "a":

cosα=d₂/d₁

cos60⁰=d₂/6

½=d₂/6

2d₂=6

d₂=3cm

Wzór na przekątną podstawy (kwadratu)

d=a√3

d₂=a√3

3=a√3 |:√3

a=3/√3*√3/√3

a=3√3/3

a=√3cm

Mamy już wszystkie dane, liczymy pole całkowite:

Pc=2Pp+Pb

Pp=a₂=(√3)²=3cm²

Pb=4*a*H=4*√3*3√3=12√9=36cm²

Pc=2*3+36=6+36=42cm²

 

Zad. 3. (załącznik "graniastosłup2")

 

Dane:

H=12cm

d₁=13cm (krótsza przekątna graniastosłupa |BD'| z rysunku: błękitna  linia)

d₂=16cm (dłuższa przekątna graniastosłupa |AC'| z rysunku: ciemno-czerwona linia)

oznaczyłem jeszcze na rysunku kolorami przekątne podstawy (rombu)

e --> dłuższa przekątna |AC|

f --> krótsza przekątna |DB|

 

Szukane:

V=Pp*H

Pp=½e*f

szukamy e i f

 

Patrzymy na trójkąt ACC'. Liczymy dłuższą przekątną "e" z twierdzenia pitagorasa:

e²+H²=d₂²

e²+12²=16²

e²=16²-12²

e²=256-144

e²=112

e=√16*√7

e=4√7cm

 

Liczymy krótszą przekątną "f" patrząc na trójkąt BDD', z twierdzenia pitagorasa:

f²+H²=d₁²

f²+12²=13²

f²=13²-12²

f²=169-144

f²=25

f=5cm

 

Skoro już mamy e i f liczymy objętość:

V=Pp*H

Pp=½*e*f=½*4√7*5=10√7cm²

V=10√7*12=120√7cm³