Question

Zad. 1.
Oblicz objętość i pole powierzchni stożka otrzymanego w wyniku obrotu trójkąta równobocznego o obwodzie 18 cm wokół wysokości.

Zad. 2.
Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 12 cm i tworzy ze średnicą kąt 30o. Oblicz pole powierzchni i objętość walca.



Zad. 4.
Do sześciennego pudełka o krawędzi 20 cm włożono piłkę o średnicy 20 cm. Jaką część pojemności pudełka zajmuje piłka?
Przyjmij п = 3.

Zad. 5.
Z napełnionego kieliszka w kształcie stożka odlano połowę zawartości. Do jakiej wysokości sięga płyn, który pozostał w kieliszku?

Grupa B
Zad. 1.
Oblicz objętość i pole powierzchni stożka otrzymanego w wyniku obrotu trójkąta równoramiennego prostokątnego o przeciwprostokątnej wokół przyprostokątnej.

Zad. 2.
Przekątna przekroju osiowego walca tworzy kąt 30o ze Średnicą o długości 5 cm. Oblicz pole powierzchni i objętość walca.

Zad. 3.
Oblicz promień podstawy stożka, którego powierzchnia boczna jest przedstawionym na rysunku wycinkiem koła


Zad. 4.
Do sześciennego pudełka o krawędzi 10 cm włożono piłkę o średnicy 10 cm. Jaką część pojemności pudełka zajmuje piłka?
Przyjmij п = 3.

Zad. 5.
Z napełnionego kieliszka w kształcie stożka odlano połowę zawartości. Do jakiej wysokości sięga płyn, który pozostał w kieliszku?

Answer 1

Zad1.
Trójkąt równoboczny o obwodzie 18 ma bok równy a=18/3=6
Wysokość wynosi h= a√3/2 = 6√3/2 = 3√3
Promień podstawy stożka wynosi r = a/2 = 3
V = ⅓πr²h = ⅓π*3²*3√3 = 9π√3 cm³
P = πr² + πra = πr(r+a) = π*3(3+6)=27π cm²

zad2
H - wysokość walca
2r - średnica

tg30° = H/2r
H = r2√3/3

z tw. Pitagorasa:
H² + (2r)² = 12²
(r2√3/3)² + 4r² = 144
4r²/3 + 4r² = 144 |*3
16r² = 432
r² = 27

r = 3√3
H = r2√3/3 = 6

Pp = 2πr(r + H) = π6√3(3√3 + 6) =18π(3 + 2√3)
V = πr²H = 162π


zad3.

pole przedstawionego wycinaka stanowi pole boczne szukanego stożka:
P = 270°/360° πl² = 3πl²/4
P = πrl

3πl²/4 = πrl |*(4/πl)
3l = 4r
r = 3l/4 = 3 [cm]

zad4.

a = 20 cm
Przyjmij п = 3.
2r = 20 => r =10
V(sz) = a³ = 20³ = 8000
V(k) = 4/3 π 10³ ≈ 4000
V(k)/V(sz) = 4000/8000 = ½

zad5.

H=9 cm
R = 8 cm
V = ⅓πR²H
h = szukana wysokość
r = szukany promień
⅓πR²H = 2 * ⅓πr²h
H=2hr²/R².
Stożki są podobne, ponieważ kąt przy wierzchołku jest ten sam, dlatego:
r/R = h/H,
Po podstawieniu:
H=2hr²/R² = 2h (h/H)²
H³ = 2h³
h = H / ∛2 = H(∛2)²/2 = ½H∛4
czyli wysokość po odlaniu połowy płynu będzie wynosiła ok. 0,79 wysokości początkowej, czyli w naszym wypadku ok.7,2 cm. Jak widać średnica nie jest ważna, ważne jest, że stożki są podobne.