Question

Zad 1
Dana jest funkcja y = -4x +1 .
f)Wyznacz punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych.
h)Podaj przykład funkcji, która przecina oś OY w tym samym punkcie co wykres danej funkcji.
i) Podaj przykład funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu danej funkcji.
j)Określ monotoniczność funkcji .
k) Oblicz pole figury ograniczonej wykresem funkcji oraz osiami OX i OY.

Answer 1

F) Punkty przecięcia z osiami mają charakterystyczną cechę - jedna z współrzędnych jest wtedy równa 0. Dla przecięcia z osią OX jest to współrzędna y, a dla przecięcia z OY - współrzędna x. Wystarczy więc podstawić 0 pod jedną współrzędną i wyznaczyć drugą.
Przecięcie z osią OX
Kiedy wykres przecina oś OX, współrzędna y przyjmuje wartość 0. Podstawmy do wzoru funkcji i wyznaczmy x:
0 = -4x + 1
4x = 1
x = 1/4 = 0,25
Punktem przecięcia z osią OX jest (0,25; 0)

Przecięcie z osią OY
W tym przypadku to współrzędna x przyjmuje wartość 0. Podstawiamy:
y = -4 * 0 + 1
y = 1
Można zauważyć, że wykres przecina oś OY w punkcie odpowiadającym wyrazowi wolnemu (b we wzorze funkcji liniowej, y = ax + b; tutaj 1). Punkt przecięcia z osią OY to (0; 1).

h) Stosujemy to co napisałam w poprzednim punkcie o przecinaniu osi OY. Wystarczy, aby wyraz wolny był taki sam, czyli równy 1. Przykładem funkcji, która przecina OY w tym samym punkcie co podana funkcja jest chociażby:
y = x + 1
y = 2x + 1
y = 1/3 x + 1
itd.

i) Wykres będzie równoległy do danego, jeżeli będzie miał taki sam współczynnik kierunkowy (a we wzorze ogólnym funkcji liniowej y = ax + b; tutaj -4). Przykładami funkcji równoległej do podanej są więc:
y = -4x + 5
y = -4x - 8
y = -4x + 1/2
itd.

j) Monotoniczność funkcji liniowej zależy od jej współczynnika kierunkowego. Jeżeli jest on większy od 0, to funkcja jest rosnąca, jeżeli równy 0 - stała, a jeżeli jest on mniejszy od 0, to funkcja jest malejąca. W tym przypadku współczynnik ten jest równy -4, jest mniejszy od zera, a więc funkcja jest malejąca.

k) Jeśli narysujemy wykres, to zobaczymy, że ta figura to trójkąt prostokątny - przyprostokątne leżą na osiach układu współrzędnych, a przeciwprostokątna na wykresie podanej funkcji. Aby obliczyć pole wystarczą nam więc długości przyprostokątnych. Możemy je obliczyć, mając wyznaczone wcześniej punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych: (0,25; 0) oraz (0; 1).
To oznacza, że przyprostokątna leżąca na osi OX ma długość 0,25 j, a przyprostokątna leżąca na osi OY ma długość 1j. Mamy więc podstawę i wysokość trójkąta, podstawiamy do wzoru: