załącznik ;)Proszę o dokładne zrobienie i wytłumaczenie(wszystkie obliczenia i wzory).... Question from @Damato

Damato @Damato

September 2018 1 92 Report

załącznik ;)

Proszę o dokładne zrobienie i wytłumaczenie(wszystkie obliczenia i wzory)

Roma

Wielomian rozkładamy na czynniki:

- wyłączając wspólny czynnik przed nawias

- grupując wyrazy

- stosując wzory skróconego mnożenia

- stosując tw. Bezouta i tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu

Tw. Bezouta:

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x – p.

Def. Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) jeśli W(p) = 0.

W szukaniu pierwiastków wielomianu pomagają nam następujące twierdzenia:

- Jeżeli wielomian o wszystkich współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

- Jeżeli wielomian o wszystkich współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny to licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego, natomiast mianownik jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

$-7x^5+9x^4+x^3-3x^2 = -x^2 \cdot (7x^3-9x^2-x+3) =$

Szukamy pierwiastków wielomianu: W(x) = 7x³-9x²-x+3 (jeżeli wielomian ma pierwiastki całkowite to są one podzielnikami wyrazu wolnego tzn. 1; - 1; 2; - 2; 3; -3).

Sprawdzamy, która z tych liczb jest pierwiastkiem wielomanu W(x):

W(1) = 7·1³-9·1²-1+3 = 7 - 9 - 1 + 3 = 0, tzn., że x = 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), czyli wielomian ten jest podzielny przez (x - 1).

Wykonujemy dzielenie:

(7x³-9x²-x+3) : (x-1) =

Dzielenie wykonamy korzystając ze schematu Hornera:

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & +7 & -9 & -1 & +3 \\ \hline \cdot 1 & & +7 & -2 & -3 \\ \hline + & +7 & -2 & -3 &0 \\ \hline \end{tabular}$

= 7x²-2x-3

Stąd:

7x³-9x²-x+3 = (x-1)(7x²-2x-3)

Zatem:

$-7x^5+9x^4+x^3-3x^2 = -x^2 \cdot (7x^3-9x^2-x+3)= -x^2(x-1)(7x^2-2x-3)=$

Teraz sprawdzimy, czy wielomian Q(x) = 7x²-2x-3 możemy zapisać w postaci iloczynowej:

Δ = (-2)² - 4· 7· (-3) = 4 + 84 = 88; √Δ = √88 = √4·22 = 2√22

$x_1 = \frac{2-2\sqrt{22}}{2 \cdot 7} = \frac{2 \cdot (1 - \sqrt{22})}{14} = \frac{1 - \sqrt{22}}{7}$

$x_2 = \frac{2+2\sqrt{22}}{2 \cdot 7} = \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{22})}{14} = \frac{1+ \sqrt{22}}{7}$

Stąd:

$7x^2-2x-3 = 7\cdot (x - \frac{1 - \sqrt{22}}{7})(x - \frac{1 + \sqrt{22}}{7})$

Zatem otrzymujemy:

$-7x^5+9x^4+x^3-3x^2 = -x^2 \cdot (7x^3-9x^2-x+3)=$

$= -x^2(x-1)(7x^2-2x-3) = -x^2(x-1) \cdot 7\cdot (x - \frac{1 - \sqrt{22}}{7})(x - \frac{1 + \sqrt{22}}{7}) =$

$= -7x^2(x-1)(x - \frac{1 - \sqrt{22}}{7})(x - \frac{1 + \sqrt{22}}{7})$

$5x^4-9x^3+x^2+3x = x \cdot (5x^3-9x^2+x+3) =$

W(x) = 5x³-9x²+x+3

W(1) = 5·1³-9·1²+1+3 = 5 - 9 + 1 + 3 = 0

(5x³-9x²+x+3) : (x-1) =

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & +5 & -9 & +1 & +3 \\ \hline \cdot 1 & & +5 & -4 & -3 \\ \hline + & +5 & -4 & -3 &0 \\ \hline \end{tabular}$

= 5x² - 4x - 3

5x³-9x²+x+3 = (x-1)(5x² - 4x - 3)

$5x^4-9x^3+x^2+3x = x \cdot (5x^3-9x^2+x+3) = x(x-1)(5x^2-4x-3) =$

Q(x) = 5x²-4x-3

Δ = (-4)² - 4·5·(-3) = 16 + 60 = 76; √Δ = √76 = √4·19 = 2√19

$x_1 = \frac{4-2\sqrt{19}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \cdot (2 - \sqrt{19})}{10} = \frac{2 - \sqrt{19}}{5}$

$x_2 = \frac{4+2\sqrt{19}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{19})}{10} = \frac{2 + \sqrt{19}}{5}$

$5x^2-4x-3 = 5 \cdot (x - \frac{2 - \sqrt{19}}{5})(x -\frac{2 + \sqrt{19}}{5})$

Zatem otrzymujemy:

$5x^4-9x^3+x^2+3x = x \cdot (5x^3-9x^2+x+3) = x(x-1)(5x^2-4x-3) =$

$= x(x-1) \cdot 5 \cdot (x - \frac{2 - \sqrt{19}}{5})(x -\frac{2 + \sqrt{19}}{5}) = 5x(x-1)(x - \frac{2 - \sqrt{19}}{5})(x -\frac{2 + \sqrt{19}}{5})$

$6x^3+5x^2+16x+5 =$

W(x) = 6x³+5x²+16x+5

W(1) = 6·1³+5·1²+16·1+5 = 6 + 5 + 16 + 5 = 32 ≠ 0

W(-1) = 6·(-1)³+5·(-1)²+16·(-1)+5 = -6 + 5 - 16 + 5 = -12 ≠ 0

W(2) = 6·2³+5·2²+16·2+5 = 48 + 20 + 32 + 5 = 105 ≠ 0

W(-2) = 6·(-2)³+5·(-2)²+16·(-2)+5 = -48 + 20 - 32 + 5 = -55 ≠ 0

W(-⅓) = 6·(-⅓)³+5·(-⅓)²+16·(-⅓)+5 = -²/₉ + ⁵/₉ - ¹⁶/₃ + 5 = -²/₉ + ⁵/₉ - ⁴⁸/₉ + ⁴⁵/₉ = 0

(6x³+5x²+16x+5) : (x + ⅓) =

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & +6 & +5 & +16 & +5 \\ \hline \cdot (-\frac{1}{3}) & & -2& -1 & -5 \\ \hline + & +6 & +3 & +15 &0 \\ \hline \end{tabular}$

= 6x² + 3x + 15

6x³+5x²+16x+5 = (x + ⅓)(6x² + 3x + 15) = (x + ⅓)·3·(2x² + x + 5) = (3x + 1)(2x²+x+5)

$6x^3+5x^2+16x+5 = (3x+1)(2x^2+x+5) =$

Q(x) = 2x²+x+5

Δ = 1² - 4·2·5 = 1 - 40 = - 39 < 0, czyli trójmian nie ma postaci iloczynowej

Zatem otrzymujemy:

$6x^3+5x^2+16x+5 = (3x+1)(2x^2+x+5)$

$x^4-2x^2+1 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = (x^2 - 1)^2 = [(x-1)(x+1)]^2 =$

$= (x-1)^2(x+1)^2$

Wykorzystano wzory skróconego monożenia:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a² - b² = (a - b)(a + b)

$(x+3)^2+2(x+3)+1 = (x+3)^2+2\cdot (x+3) \cdot 1+1^2 = (x+3+1)^2 =$

$= (x+4)^2$

Wykorzystano wzór skróconego monożenia:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

$(x+1)^2 - 4 = (x+1)^2 - 2^2 = (x+1 - 2)(x+1+2) = (x-1)(x+3)$

Wykorzystano wzór skróconego monożenia:

a² - b² = (a - b)(a + b)

$x^2-6x+9=x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$

Wykorzystano wzór skróconego monożenia:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

$(x-3)^2-x^2 = (x-3-x)(x-3+x) = -3 \cdot (2x-3)$

Wykorzystano wzór skróconego monożenia:

a² - b² = (a - b)(a + b)

$(x^2-6)^3- 8 = (x^2-6)^3- 2^3 = (x^2-6-2)[ (x^2-6)^2 -(x^2 -6) \cdot 2 +2^2] =$

$= (x^2-8)(x^4-12x^2+36+2x^2-12+4) = (x^2-8)(x^4-10x^2+28) =$

W(x) = x⁴-10x²+28 = x⁴-10x²+25 + 3 = (x² - 5)² + 3

W(x) = 0

(x² - 5)² + 3 = 0

(x² - 5)² = - 3

stąd wiadać, że wielomian W(x) nie ma pierwiastków, bo kwadrat dowolnej liczby nie może być ujemny, zatem wielomian W(x) nie ma postaci iloczynowej.

Zatem otrzymujemy:

$(x^2-6)^3- 8 = (x^2-8)(x^4-10x^2+28)$

Wykorzystano wzór skróconego monożenia:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

$3x^4-5x^3+5x^2-5x+2=$

W(x) = 3x⁴-5x³+5x²-5x+2

W(1) = 3·1⁴-5·1³+5·1²-5·1+2 = 3-5+5-5+2 = 0

(3x⁴-5x³+5x²-5x+2) : (x - 1) =

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|} \hline & +3 & -5 & +5 & -5 &+2 \\ \hline \cdot 1 & & +3 & -2 &+3 &-2 \\ \hline + & +3 & -2 & +3&-2 &0 \\ \hline \end{tabular}$

= 3x³ - 2x²+ 3x - 2

3x⁴-5x³+5x²-5x+2 = (x - 1)(3x³ - 2x²+ 3x - 2)

$3x^4-5x^3+5x^2-5x+2 = (x - 1)(3x^3 - 2x^2+ 3x - 2) =$

$= (x - 1)(3x^3+ 3x - 2x^2 - 2) = (x - 1)[3x \cdot (x^2+ 1) - 2(x^2 +1)] =$

$= (x - 1)(x^2+ 1)(3x - 2) =$

Q(x) = x² + 1

Q(x) = 0

x² + 1 = 0

x² = - 1, wielomian Q(x) nie ma pierwiastków, czyli nie ma postaci iloczynowej

Zatem otrzymujemy:

$3x^4-5x^3+5x^2-5x+2 = (x - 1)(x^2+ 1)(3x - 2)$

$x^5-2x^4+x^2+x^3+3=$

W(x) = x⁵-2x⁴+x²+x³+3

W(1) = 1⁵-2·1⁴+1²+1³+3 = 1-2+1+1+3= 4 ≠ 0

W(-1) = (-1)⁵-2·(-1)⁴+(-1)²+(-1)³+3 = -1-2+1-1+3 = 0

(x⁵-2x⁴+x³+x²+3) : (x + 1) =

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|} \hline & +1 & -2 & +1 & +1 &0 &+ 3 \\ \hline \cdot (-1) & & -1 & +3 &-4 &+3 &-3 \\ \hline + & +1 & -3 & +4&-3 &+3 &0 \\ \hline \end{tabular}$