Question

Z pewnego miejsca na ziemi widać wierzchołek drzewa pod kątek 30 stopni do poziomu, a z miejsca położonego o 12m bliżej drzewa pod kątem 60 stopni. Oblicz wysokość drzewa.

Answer 1

sin60st=h/12 => √3/2=h/12 => h=6√3 => h≈10,39m

Answer 2

W odległości x widać drzewo o wysokości h pod kątem 60°, a pod kątem 30° widać z odlegości x+12.
Z rysunku dobrze narysowanego widać, że mamy do czynienia z dwoma trójkątami prostokątnymi podobnymi (odpowiadające kąty obu trójkątów mają jednakowe miary: 90°, 60° i 30°). Dlatego możemy ułożyć równanie wynikające ze stosunków odpowiednich boków:
h / (x+12) = x / h
h² = x(x+12) = x² + 12x
Ale x można wyliczyć z tw. Pitagorasa albo z wiedzy, że h = wysokość trójkąta równobocznego o boku 2x:
h = 2x√3/2 = x√3 => x = h/√3
Po wstawieniu do równania:
h² = h²/3 + 12h/√3
⅔h² - 12h/√3 = 0
⅔h² - 4h√3 = 0
Po podzieleniu przez h≠0
⅔h - 4√3 = 0
h = 3/2* 4√3 = 6√3 [m]

Odp. Wysokość drzewa wynosi 6√3 m, czyli ok. 10,4 m.

PS.
Po rozwiązaniu zaintrygowało mnie rozwiązanie Ptaaqa - genialnie proste, ale skąd się to bierze? Po prostu trzeba zauważyć, że trójkąt ADC jest równoramienny: AD = DC = 12, dlatego dobrze jest zrobić dobry rysunek. Trójkąt jest równoramienny, ponieważ kąt ADC = 180 - 60 = 120, a kąt DCA = 180 - 30 - 120 = 30, czyli kąty BAC i ACD są równe i wynoszą 30 st. A więc AD = DC. Ptaaq powinien to opisać, ale może wydawało mu się to takie oczywiste?