Question

Z góry proszę o rozwiązanie wszystkich zadań a nie tylko jednego i zgarnięcie pkt.

1.W trapezie prostokątnym o obwodzie 8 krótsza poddstawa i wysokość mają równe długości. Różnica długości podstaw to 2. Oblicz długość podstaw trapezu.

2.Jedna z przekątnych rombu jest o 6 cm dłuższa od drugiej. Pole tego rombu jest równe . Oblicz obwód tego rombu.

3.Pole trapezu prostokątnego wynosi . Bok prostopadły do obu podstaw jest krótszy od jednej z nich o 2 cm a od drugiej o 4 cm. Oblicz obwód tego trapezu.

Answer 1

Zad. 1

a, b - długości podstaw trapezu (a > b)

h - wysokość trapezu (ramię prostopadłe do podstaw)

c - ramię trapezu

 

z treści zadania:

a + b + h + c = 8

h = b

a - b = 2 ⇒ a = b + 2

i podstawiając do pierwszej równości otrzymujemy:

b + 2 + b + b = 8

3b + c = 8 - 2

3b + c = 6 ⇒ c = 6 - 3b

 

z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

c² = h² + 2²

c² = b² + 4

(6 - 3b)² = b² + 4

36 - 36b + 9b² - b² - 4 = 0

8b² - 36b + 32 = 0 /:4

2b² - 9b + 8 = 0

Δ = 81 - 64 = 17; √Δ = √17

b₂ odrzucamy, bo obwód byłby większy od 8, zatem

b = 2,25 - 0,25√17

a = b + 2 = 2,25 - 0,25√17 + 2 = 4,25 - 0,25√17

Odp. Podstawy trapezu mają długość: 4,25 - 0,25√17 i 2,25 - 0,25√17.

 

Zad. 2

a - długość boku rombu

e, f - przekątne rombu (e > f)

P - pole rombu

O - obwód rombu

 

z treści zadania:

e = f + 6

P = 56 cm²

 

P = ½·e·f

½·(f + 6)·f = 56 /·2

(f + 6)·f = 112

f² + 6f - 112 = 0

Δ = 36 + 448 = 484; √Δ = 22

f₁ odrzucamy, bo f to długość przekątnej rombu, czyli musi być większa od zera, zatem

f = 8 cm

e = f + 6 = 8 + 6 = 14 cm

 

a - długość boku rombu obliczmy z tw. Pitagorasa, wykorzystując własność przekątnych rombu, kóre dzielą się na połowy pod kątem prostym.

 

a² = (½·e)² + (½·f)²

a² = 7² + 4²

a² = 49 + 16

a² = 65

a = √65

 

O = 4a

O = 4√65 cm

 

Odp. Obwód rombu wynosi 4√65 cm.

 

Zad. 3

a, b - długości podstaw trapezu (a > b)

h - wysokość trapezu (ramię prostopadłe do podstaw)

c - ramię trapezu

P - pole trapezu

O - obwód trapezu

 

z treści zadania:

P = 40 cm²

h = a - 4 ⇒ a = h + 4

h = b - 2 ⇒ b = h + 2

 

P = ½·(a + b)·h

½·(h + 4 + h + 2)·h = 40 /·

(2h + 6)·h = 80

2h² + 6h - 80 = 0 /:2

h² + 3h - 40 = 0

Δ = 9 + 160 = 169; √Δ = 13

h₁ odrzucamy, bo h to długość wysokości trapezu, czyli musi być większa od zera, zatem

h = 5 cm

a = h + 4 = 5 + 4 = 9 cm

b = h + 2 = 5 + 2 = 7 cm

 

c - długość ramienia trapezu obliczmy z tw. Pitagorasa

c² = h² + (a-b)²

c² = 5² + (9-7)²

c² = 25 + 2²

c² = 25 + 4

c² = 29

c = √29

 

O = a + b + h + c

O = 9 + 7 + 5  + √29 = 21 + √29 cm

 

Odp. Obwód trapezu wynosi 21 + √29 cm.