Question

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:

y=sinx i y=2/π×x

Answer 1

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:

y=sinx i y=2/π×x


spr. kiedy te funkcje się przecinają
sin x=2/π
x=arc sin 2/π

rysujemy wykres sinusa, potem prostej y=2/π x (0,0), (1,2/π)
widzimy, że przecinają się w dwódh punktach i mamy obszar złożony z dwóch takich samych kawałków

P=∫sin x - 2/π x dx od -arc sin 2/π do arc sin 2/π
P=2∫sin x - 2/π x dx od 0 do arc sin 2/π
P=2( -cosx - 2/π x²/2) od 0 do arc sin 2/π= 2( -1+2sin ²x/2 - x²/π ) od 0 do arc sin 2/π = 2[ -1+2 sin²(arc sin 2/π)/2- (arc sin 2/π)²/π +1-2sin²0+0 ]=
2[-1+4/π²- (arc sin 2/π)²/π+1]=2[4/π²- (arc sin 2/π)²/π]