Question

1) Oblicz sinus i tanges wiedząc, że i jest kątem ostrym

2) Przekątna prostokąta tworzy z jednym z boków kąt, którego sinus jest równy 0,2. Oblicz pole i obwód tego prostokąta.

3) Rozwiąż równania

4)Narysuj wykres funkcji, podaj zbiór wartości i określ monotoniczność funkcji

a) y= -2/x

b) y= (1\2)^x

Answer 1

z.1

cos alfa + 2 = 2  2/3

cos alfa = 2  2/3 - 2 = 2/3

sin^2 alfa + cos ^2 alfa = 1 ---> sin ^2 alfa = 1 - cos^2 alfa

czyli

sin^2 alfa = 1 - (2/3)^2 = 1 - 4/9 = 9/9 - 4/9 = 5/9

zatem

sin alfa = p( 5/9) = p( 5)/ 3

===========================

tg alfa = sin alfa / cos alfa = [ p(5)/3] : ( 2/3) = [ p(5)/3] * (3/2) = p(5)/ 2

tg alfa = p(5) / 2

=================

p(5) - pierwiastek kwadratowy z 5

--------------------------------------------------------------------------------------

z.2

a,b - długości boków tego prostokąta

c - długość przekatnej prostokąta

Mamy

sin alfa = a/c = 0,2 ---> a = 0,2 *c

oraz

b^2 = c^2 - a^2 = c^2 - ( 0,2 c)^2 = c^2 - c^2/25 = (24/25) c^2

b = (2/5)p(6)* c

==============

Pole

P = a*b = [ 0,2 *c]*[ (2/5) p(6) *c ] = ( 2/25) p(6) *c^2

P = 0,08 p(6)* c^2

====================

Obwód prostokąta

L = 2a + 2b = 2*0,2*c + 2*(2/5) p(6) *c = (2/5)*c + (4/5) p(6)*c

L = [ (2/5) + (4/5) p(6) ] *c

===========================

z.3

a)

[ 2 x^2 - 18 x]/ x^2 = 0  ,  x musi byc różne od 0

[ x*( 2x - 18)]/ x^2 = 0

(2x - 18 )/x = 0

2x - 18 = 0

2x = 18

x = 9

b)

1 / ( x - 1)   - 2  = 1/x

x - musi być  różne od 0 oraz 1

1/(x -1) - [ 2*(x -1)]/(x -1) = 1/x

1/(x -1) - (2x - 2)/(x -1) = 1/x

( 1 - 2x + 2)/(x -1) = 1/x

( 3 - 2x)/(x -1) = 1/x

(3 - 2x)*x= x -1

3x - 2x^2 = x - 1

2 x^2 - 2x - 1 = 0

==================

delta = (-2)^2 - 4*2*(-1) = 4 + 8 = 12 = 4*3

p (delty) = 2 p(3)

x1 = [ 2 - 2p(3)]/4 = 0,5 - 0,5 p(3)

x2 = [ 2 + 2 p(3)]/4 = 0,5 + 0,5 p(3)

===============================

 z.4

a)  y = - 2/x

D = R \ { 0 }

Wykresem tej funkcji jest hiperbola.

Aby narysować wykres należy wyznaczyć kilka punktów tego wykresu.

Dla x < 0

x = - 5 , to   y = -2 /(-5) = 2/5 = 0,4

x = - 4, to    y = - 2/ ( -4) = 1/2 = 0,5

x = -2 , to    y =  -2/ (-2)  =   1

x = -1 , to    y = - 2/(-1)   =   2

x = -1/2, to y = -2 / ( -1/2) = 4

A = ( -5; 0,4), B = ( -4; 0,5 ), C = ( -2; 1 ), D = (-1; 2 ), E = ( -1/2; 4 )

Dla x > 0

x = 1/2  , to  y = -2 /(1/2) = - 4

x = 1 ,     to  y = -2 / 1 = - 2

x = 2,      to  y = - 2/ 2 = - 1

x = 4,      to  y = -2/ 4 = - 1/2 = - 0,5

x = 5,      to  y = - 2/ 5 = - 0,4

F = ( 1/2; - 4), G = ( 1; -2 ), H = ( 2; - 1), I = ( 4; - 0,5 ), J = (5 ; -0,4 )

Przez punkty A,B,C,D,E  prowadzimy jedną gałąź hiperboli, a przez

punkty F, G,H, I, J   drugą .

-----------------------------------

Zbiór wartościfunkcji

ZW = R \ { 0 }

=================

Funkcja jest rosnaca:

Dla x < 0   funkcja rośnie od  0   do + nieskończoności,

a dla x > 0   funkcja rośnie od   - nieskończoności  do  0.

====================================================

b)

y = (1/2)^x

Jest to funkcja wykładnicza.

 

x = - 3, to  y = (1/2)^(-3) = 2^3 = 8

x = -2,  to  y = (1/2)^(-2) = 2^2 = 4

x = - 1, to  y = (1/2)^(-1) = 2^1 = 2

x =   0, to  y = (1/2)^0 = 1

x = 1 ,  to  y = (1/2)^1 = 1/2

x = 2,   to  y = (1/2)^2 = 1/4

x = 3,   to  y = (1/2)^3 = 1/8

Mamy punkty:

A = (-3; 8),B = (-2; 4), C = (-1; 2), D = (0; 1), E = ( 1; 1/2),

F = (2; 1/4), G = (3; 1/8)

Przez te punkty prowadzimy krzywą wykładniczą.

-------------------------------------------------------------

Zbiór wartości funkcji:

ZW = ( 0; + nieskończoność )

------------------------------------------

Funkcja jest malejąca.

=========================================================