Na wykresie funkcji f(x)=2x/(x^2+1) +2 znajdź punkty w których styczna do tego wykresu jest równoloe.... Question from @Dominika07

January 2019 1 83 Report

Na wykresie funkcji f(x)=2x/(x^2+1) +2 znajdź punkty w których styczna do tego wykresu jest równoloegła do osi OX

Janek79 Witam!

Zadanie
I Sposób (bez pochodnych)

Na początku przyjrzyjmy się dobrze funkcji f(x).
$f(x)= \frac{2x}{x^2+1}+2$

Możemy zauważyć, że pierwszy wyraz dodawania to funkcja nieparzysta, a drugi to wartość stała.

Policzmy teraz zbiór wartości dla tej funkcji.
$(x-1)^2 \geq 0$ (aksjomat)
$x^2+1-2x \geq 0$
$x^2+1 \geq 2x\\1 \geq \frac{2x}{x^2+1}$

Ponieważ jest to funkcja nieparzysta to zbiór wartości jest ograniczony tymi samymi wartościami nad osią x jak i pod.

Czyli:
$-1 \leq \frac{2x}{x^2+1} \leq 1$

Teraz wystarczy dodać wartość stałą.
$-1+2 \leq \frac{2x}{x^2+1}+2 \leq 1+2\\1 \leq \frac{2x}{x^2+1}+2 \leq 3$

Tak więc największą wartością jest 3, a najmniejszą 1.

Szukane styczne muszą być funkcjami stałymi, ponieważ mają być one równoległe do osi X.

Możemy również zauważyć, że takie styczne mogą przechodzić jedynie przez największą i najmniejszą wartość funkcji.

Zatem:
$s_1(x)=1\\s_2(x)=3$

Wynika z tego, że:
$f(x)=s_1(x)\\f(x)=s_2(x)$

Obliczamy:
$\frac{2x}{x^2+1}+2=1\\ \frac{2x}{x^2+1}=-1\\2x=-x^2-1\\x^2+2x+1=0\\(x+1)^2=0\\x+1=0\\x=-1$

Pierwszy szukany punkt: $P_1=(-1;1)$

$\frac{2x}{x^2+1} +2=3\\\frac{2x}{x^2+1}=1\\2x=x^2+1\\x^2-2x+1=0\\(x-1)^2=0\\x-1=0\\x=1$

Drugi szukany punkt: $P_2=(1;3)$

II Sposób (wykorzystanie pochodnych)

Omawiana styczna będzie równoległa do osi X, gdy:
$f'(x)=0$

Czyli:
$f'(x)= (\frac{2x}{x^2+1}+2)'= \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}\\\frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=0\\2(x^2-1)=0\\(x^2-1)=0\\(x-1)(x+1)=0\\x=1$ lub $x=-1$

Teraz należy obliczyć f(1) i f(-1).
$f(1)=3\\f(-1)=1$

$P_1=(1;3)\\P_2=(-1;1)$

Odpowiedź: Szukane punkty to (-1;1) i (1;3).

Pozdrawiam!

4 votes Thanks 4

Zadanie na ulamkach Wyznacz Y Y=500:0,9Y+1000-800r Czasy gimnazjum już dawno za mną i bylam najllepsza z matmy a teraz mam problem z ulamkami xd prosze o pomoc.

Answer

Dominika07 January 2019 | 0 Replies

Pierwsza urna zawiera 5kul białych i 7 kul czarnych, a druga-n kul białych i 9 kul czarnych. Z pierwszej urny wyjmujemy jedną kulę i przekładamy ją do drugiej urny. Następnie z drugiej urny wyjmujemy jedną kulę, Wyznacz wszystkie wartości parametru n, dla których prawdopodobieństwo wyjęcia z drugiej urny kuli białej jest mniejsze od 2/5

Answer

Dominika07 January 2019 | 0 Replies

Rzucono trzy razy sześcienną kostkę do gry. Oblicz prawdopodobieństwo że suma wyrzuconych oczek jest równa 16, pod warunkiem że za pierwszym razem wypadło 6 oczek. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku

Answer

Dominika07 January 2019 | 0 Replies

Zadanie na ulamkach Wyznacz Y Y=500:0,9Y+1000-800r Czasy gimnazjum już dawno za mną i bylam najllepsza z matmy a teraz mam problem z ulamkami xd prosze o pomoc.

Oblicz pole figury za pomocą calki. y=1/x y=x x=e

Rozwiąż (x^2+ 3x) : (x^2 +4x -4)=0 Pilnie prosZę o pomoc

Rozwiąż nierówność 2sin3x>1 gdzie x nalezy do <0,pi /2>

Rzucono trzy razy sześcienną kostkę do gry. Oblicz prawdopodobieństwo że suma wyrzuconych oczek jest równa 16, pod warunkiem że za pierwszym razem wypadło 6 oczek. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku

Przetłumacz zdanie na język rosyjski: Ja dostałam je od babci na osiemnaste urodziny.

Udowodnij, że styczna do paraboli y=ax^2 w punkcie (xo.yo) przecina oś OY w punkcie (0,-yo)

Dana jest funkcja f(x)=x^3/3 + ax^2/2. Podaj liczbę ekstremów tej funkcji w zależności od parametru a.

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x)=x+9/x jak to zapisać żeby obliczyć pochodną ?

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social